抛物线的简单几何性质学案和教案2

抛物线的简单几何性质（学案）

陈绍楠

（第一课时）

学习重点：掌握抛物线的几何性质，能应用抛物线的几何性质解决问题． 学习难点：抛物线的几何性质的应用

一、复习回顾

1._________________________________________________________________叫做抛物线；_______________叫做抛物线的焦点，________________叫做抛物线的准线； 2.完成下表： 标准方程 y y y y 图 F 象 O F x F O x O x O x F 焦点坐标 准线方程 p的几何意义 二、探究新知 （1）根据抛物线图像及标准方程探究抛物线的简单几何性质：

阅读教材68页的内容，研究抛物线的简单的几何性质，以y2=2px(p＞0)为例

①范围 ： ；

②对称性： ；

③顶点： ；

④离心率： ；

补充：通径：通过焦点且垂直对称轴的直线，与抛物线相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的通径。

（2）小结：抛物线的简单几何性质一览表 标准y2＝2px（p＞0） 方程 y2＝－2px（p＞0） X2＝2py（p＞0） x2＝－2py（p＞0） y y y y F 图 O F x F O 象 O x x O x F 范 围 焦点坐标 顶点坐标 离 心 率 对 称 轴 焦 半 径 通 径 三、典例精析 【题型一】利用抛物线的性质求抛物线的方程

【例1】已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过M(2，?22)，求它的标准方程。

【变式训练】已知抛物线关于坐标轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过M(2，?22)，求它的标准方程。

1

【题型二】有关焦点弦的问题

【例2】斜率为1的直线l经过抛物线y2?4x的焦点，且与抛物线相交于A、B两点， 求线段AB的长.

【变式训练】：已知抛物线y2?4x截直线y=x+b所得弦长为4,求b的值.

【题型三】中点弦问题

【例3】 :求直线y=x-1被抛物线y2?4x截得线段的中点坐标.

【变式训练】：

已知抛物线C：y2?4x，设直线与抛物线两交点为A、B，且线段AB中点为M（2，1），求直线l的方程.

【题型四】 直线与抛物线的位置关系

1． 直线与抛物线相切：直线与抛物线有且只有一个公共点，但不平行于抛物线的对称轴。即把x＝my＋n代入y2＝2px（p＞0）消去x得：y2－2pmy－2pn＝0①，当方程①的判别式△＝0?直线与抛物线相切；

2． 直线与抛物线相交：

（1）直线与抛物线只有一个交点：直线与抛物线的对称轴平行； （2）直线与抛物线有两个不同的交点?方程①的判别式△＞0； 3. 直线与抛物线相离?方程①的判别式△＜0。

【例4】： 已知抛物线的方程为y2?4x,直线l过定点P(-2,1)，斜率为k,k为何值时，直线l与抛物线y2=4x:只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？

【课堂练习】:

过点M(0,1)且和抛物线C:y2?4x仅有一个公共点的直线的方程是__________________________.

归纳小结：

2

抛物线的简单几何性质（教案）

陈绍楠 （第一课时）

教学重点：掌握抛物线的几何性质，能应用抛物线的几何性质解决问题． 教学难点：抛物线的几何性质的应用 教学方法：多媒体课件和学案探究相结合

复习回顾

1.抛物线的定义是什么？

“平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．” 2．抛物线的标准方程是什么？ y2＝2px（p＞0） y2＝－2px（p＞0） X2＝2py（p＞0） x2＝－2py（p＞0）

怎样由抛物线的标准方程确定它的几何性质？以y2

=2px(p＞0)为例，课件展示给出下表，请学生对比、研究和填写．

2.完成下表： 标准方程 y y y y 图 F 象 O F x F O x O x O x F 焦点坐标 准线方程 p的几何意义

探究新知一、抛物线y2?2px(p?0)的简单几何性质

1. 范围：x?[0，??)，y?R 2. 对称轴：以?y代y方程y2?2px(p?0)不变，所以这条抛物线关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴。

3． 顶点：抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点，抛物线y2?2px(p?0)的顶点为坐标原点. 4. 离心率：抛物线上的点M到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，抛物线的离心率e?1.

同理可得其它三种抛物线简单的几何性质。

二、小结：抛物线的简单几何性质一览表 标准方y2＝2px（p＞0） 程 y2＝－2px（p＞0） X2＝2py（p＞0） x2＝－2py（p＞0） y y y y F 图 O F x F O 象 O x O x x F 范 围 x≥0 x≤0 y≥0 y≤0 焦点坐标 F（p2 ，0） F（－p2 ，0） F（0，p2 ） F（0，－p2 ） 顶点坐标 O（0，0） O（0，0） O（0，0） O（0，0） 离 心 率 e＝1 e＝1 e＝1 e＝1 对 称 轴 x轴 x轴 y轴 y轴 焦 半 径 |PF|＝xp0＋2 |PF|＝－xp0＋2 |PF|＝y＋p02 |PF|＝－yp0＋2 准线方程 x＝－p2 x＝p2 y＝－p2 y＝p2 p的几何意义 抛物线的焦点到准线的距离，p越大张口就越大 通 径 过焦点且垂直于对称轴的直线与抛物线两交点间的线段叫做抛物线的通径，其长为2p 通过表格的填写，我们知道，四种形式抛物线顶点相同，均为(0,0)，离心率均为1 ,它们都是轴 对称图形，但是对称轴不同. 3. 和椭圆、双曲线的几何性质相比：它们都是轴对称图形；椭圆、双曲线又是中心对称图形，抛物线不是;顶点个数不同:椭圆有4个,双曲线有2个,抛物线由一个顶点;焦点个数不同:椭圆和双曲线各有2个焦点,抛物线只有一个焦点;离心率取值范围不同:椭圆的离心率范围是01,抛物线的离心率是

e=1.

三、焦点弦及其性质(现将一部分)

1．抛物线焦点弦的定义：过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点这两点间的线段叫做抛物线的焦点弦。 2．抛物线焦点弦的性质：

若抛物线的方程为y2＝2px（p＞0），过抛物线的焦点F（p

2

，0）的直线交抛物线与

3

A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，则 ① y1y2＝－p2； x＝p2

②1x24 ；

③ |AB|＝x1＋x2＋p；

④ |AB|＝2p

sin2θ （其中θ为直线的倾斜角）；

⑤

112|AF|＋|BF|＝p

； ⑥ 过A、B两点作准线的垂线，垂足分别为A/、B/，F抛物线的焦点，则∠A/FB/＝900；

⑦ 以弦AB为直径的圆与准线相切。

证明：①当直线过焦点且垂直于x轴时，A（p2 ，p）、B（p

2 ，－p），因此y1y2＝－p2成立；

当直线过焦点且不与x轴垂直时，显然直线的斜率k≠0，直线AB的方程为：

y＝k（x－p2 ）；由此的x＝yk ＋p2 ；把x＝yk ＋p

2 代入y2＝2px消去x得：

ky2－2py－kp2＝0，∴y1y2＝－p2

②∵A（x1，y1）、B（x2，y2）两点都在抛物线y2＝2px（p＞0）上， ∴y12＝2px1，y22＝2px2；两式相乘得(y1y2)2＝2px1·2px2 ∴p4＝4p2x1x2； 从而xxp2

12＝4

③过A、B两点作准线x＝－p

2 的垂线，垂足分别为A/、B/，

则|AB|＝|AF|＋|BF|＝|AA/|＋|BB/|＝xpp

1＋2 ＋x2＋2 ＝x1＋x2＋p

④当θ＝900时，显然成立；

当θ≠900时，，则直线AB的方程为：y＝k（x－p

2

）；

把y＝k（x－p2 ）代入y2＝2px消去y得：k2x2－p(k2

＋2)x＋k2p24 ＝0；

xxp(k2＋2)p2

1＋2＝k2 ，x1x2＝4

；

|AB|＝1＋k |x2p(1＋k221－x2|＝1＋k2 (x1＋x2)2－4x)1x2 ＝k2

2p(1＋tan2＝θ)tan2θ ＝2psin2θ

。 ⑤∵A（x）、B（x11111，y12，y2）∴|AF|＋|BF|＝xp＋p

1＋2 x2＋2 ＝x1＋x2＋px1＋x2＋p

2 xpp ＝p2pp21x2＋2 (x1＋x2)＋4 4＋2 (x1＋x2)＋4

＝x1＋x2＋p ＝2 p 2

(xp1＋x2＋p)⑥过A、B两点分别作准线的垂线，垂足分别为A/、B/， 由于点A、B是抛物线上的点，F是抛物线的焦点，根据抛物线的定义可y 知，|AF|＝|AA/|，|BF|＝|BB/|

∴∠B/BF＝1800－2∠B/FB，∠A/AF＝1800－2∠A/FA 由∵AA/∥BB/ ∴∠B/BF＋∠A/AF＝1800 A/ A 即：1800－2∠B/FB＋1800－2∠A/FA＝1800

∴∠B/FB＋∠A/FA＝900 O F x ⑦设N为线段AB的中点，过A、B、N分别作准线的垂线， B/ B 垂足分别为A/、B/、N/，

N为线段AB的中点，则|NN|＝|AA/|＋|BB/∵/

|⑥题图 2

y ＝|AF|＋|BF|2 ＝|AB|

2

∴以AB为直径的圆与准线相切。

A/ A N/ FN x B/ O B

⑦题图 典例精析

【题型一】利用抛物线的性质求抛物线的方程

【例1】已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过M(2，?22)，求它的标准方程.

解：由题意可设抛物线的标准方程为y2?2px(p?0). 因为点M在抛物线上,所以??22?2?2p?2,即p?2.

因此,所求抛物线的方程为y2?4x.

【变式训练】已知抛物线关于坐标轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过M(2，?22)，求它的标准方程.

【题型二】有关焦点弦的问题

【例3】斜率为1的直线l经过抛物线y2?4x的焦点，且与抛物线相交于A、B两点，求线段AB的长. 【审题要津】 求出抛物线的焦点后,写出直线方程的点斜式,和抛物线联立解交点,然后运用两点间的距离公式求AB的长.

4

?y?x?1,解：抛物线y2?4x的焦点为(1,0),直线l的方程为y?x?1,联立?2 得

?y?4x.??x1?3?22,??x2?3?22, ? ???y1?2?22,??y2?2?22.已知抛物线C：y2?4x，设直线与抛物线两交点为A、B，且线段AB中点为M（2，1），求直线l的方

程.答案：y?2x?3

【题型四】 直线与抛物线的位置关系

3． 直线与抛物线相切：直线与抛物线有且只有一个公共点，但不平行于抛物线的对称轴。即把x＝my＋n代入y2＝2px（p＞0）消去x得：y2－2pmy－2pn＝0①，当方程①的判别式△＝0?直线与抛物线相切；

4． 直线与抛物线相交：

（1）直线与抛物线只有一个交点：直线与抛物线的对称轴平行； 设A(x1,y1),B(x2,y2),则AB??x2?x1???y2?y1?22=8. 【方法总结】 直线和圆锥曲线的弦长问题,可先联立方程组求交点坐标,然后运用两点间的距离公式

求解.

变式训练：已知抛物线y2?4x截直线y=x+b所得弦长为4,求b的值. 设A(x1,y1),B(x2,y2)

. 解:??y?x?by2?4x消y得：x2?(2b?4)x?b2?0 ?

x1?x2?4?2bx1?x2?b2 AB?1?k2 (x1?x2)2?4x1?x2?2(4?2b)2?4b2?4【题型三】中点弦问题

例3 :求直线y=x-1被抛物线y2?4x截得线段的中点坐标.

解法一：设直线y?x?1与抛物线y2?4x交于A(x1,y1)， B(x2,y2)，其中点P(x?y?x?10,y0)，由题意得?y2?4x，

?消去y得(x?1)2?4x，即x2?6x?1?0，

所以xx1?x20?2?3，y0?x0?1?2，即中点坐标为(3,2)。 解法二：设直线y?x?1与抛物线y2?4x交于A(x1,y1)， B(x2,y2)，? (xy2其中点P1?4x10,y0)，由题意得??y2?4x，两式相减得y2y2222?1?4(x2?x1)， 所以(y2?y1)(y2?y1)x?42?x1，

所以y1?y2?4，即y0?2，x0?y0?1?3，

即中点坐标为(3,2)。

变式训练：

b?12

（2）直线与抛物线有两个不同的交点?方程①的判别式△＞0； 4. 直线与抛物线相离?方程①的判别式△＜0。

例4： 已知抛物线的方程为y2=4x,直线l过定点P(-2,1)，斜率为k,k为何值时，直线l与抛物线y2=4x:只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？

解：由题意，设直线l的方程为y?1?k(x?2).

由方程组?y?1?k(x?2)

??y2?4x可得ky2?4y?4(2k?1)?0

(2)当k?0时，方程的判别式为?＝?16(2k2?k?1).

10由?＝0，即2k2?k?1?0

解得k??1,或k?1 2. 即当k??1，或k?12时，方程组只有一个解，课堂练习:

即直线与抛物线只有一个公共点。过点M(0,1)且和抛物线C:y2?4x仅有一个公共点的直线的方程是__________________________.

20由??0，即2k2?k?1?0

解得?1?k?1 2.即当?1?k?12,且k?0时，方程组有两个解，即直线与抛物线有两个公共点。30由??0，即2k2?k?1?0解得k??1，或k?12.即当k??1或k?12时，方程组没有实数解，即直线与抛物线没有公共点。综上所述，当k??1，或k?12，或k?0时，即直线与抛物线只有一个公共点。当?1?k?15

2,且k?0时，即直线与抛物线有两个公共点。当k??1或k?12时，即直线与抛物线没有公共点。