北京市东城区2017届高三下学期二模考试数学理试题 含解析 精品

AM的方程，代入椭圆方程，由韦达定理求得M点坐标，分类讨论，当MF⊥x轴时，求得k的值，即可求得N和E点坐标，求得点E在∠BFM的角平分线所在的直线y=x﹣1或y=﹣x+1，则EF平分∠MFB，当k≠时，即可求得直线MF的斜率及方程，利用点到直线的距离公式，求得于直线EF的对称点在直线MF上． 【解答】解：（Ⅰ）由题意得2b=2∴椭圆C的方程为

；

，则b=

，c=1，则a2=b2+c2=4，则a=2，

=|BE|，则点B关

（Ⅱ）证明：“点B关于直线EF的对称点在直线MF上”等价于“EF平分∠MFB”． 设直线AM的方程为y=k（x+2）（k≠0），则N（2，4k），E（2，2k）．…

，整理得（4k2+3）x2+16k2x+16k2﹣12=0，

设点M（x0，y0），由

由韦达定理可知﹣2x0=，则x0=，y0=k（x0+2）=

，

①当MF⊥x轴时，x0=1，此时k=±． 则M（1，±），N（2，±2），E（2，±1）．

此时，点E在∠BFM的角平分线所在的直线y=x﹣1或y=﹣x+1， 即EF平分∠MFB． …

②当k≠时，直线MF的斜率为kMF=

=

，

所以直线MF的方程为4kx+（4k2﹣1）y﹣4k=0． … 所

以

点

E=

到

直

=

线

MF

的

距

离

=|2k|=|BE|．

即点B关于直线EF的对称点在直线MF上，

综上可知：点B关于直线EF的对称点在直线MF上． …

20．对于n维向量A=（a1，a2，…，an），若对任意i∈{1，2，…，n}均有ai=0或ai=1，B，B）=则称A为n维T向量．对于两个n维T向量A，定义d（A，

（Ⅰ）若A=（1，0，1，0，1），B=（0，1，1，1，0），求d（A，B）的值． （Ⅱ）现有一个5维T向量序列：A1，A2，A3，…，若A1=（1，1，1，1，1）且满

足：d（Ai，Ai+1）=2，i∈N*．求证：该序列中不存在5维T向量（0，0，0，0，0）．

．

（Ⅲ）现有一个12维T向量序列：A1，A2，A3，…，若d（Ai，Ai+1）=m，m∈N*，i=1，2，3，…，若存在正整数j使得Aj为12维T向量序列中的项，求出所有的m． 【考点】R9：反证法与放缩法．

0，1，0，1）B=1，1，1，0）【分析】（Ⅰ）由于A=（1，，（0，，由定义求d（A，B）的值．

（Ⅱ）利用反证法进行证明即可； （Ⅲ）根据存在正整数j使得求出所有的m．

且满足：

，

，

，Aj为12维T向量序列中的项，

【解答】解：（Ⅰ）由于A=（1，0，1，0，1），B=（0，1，1，1，0），由定义

，

可得d（A，B）=4．…

（Ⅱ）反证法：若结论不成立，即存在一个含5维T向量序列，A1，A2，A3，…An，

使得A1=（1，1，1，1，1），Am=（0，0，0，0，0）．

因为向量A1=（1，1，1，1，1）的每一个分量变为0，都需要奇数次变化， 不妨设A1的第i（i=1，2，3，4，5）个分量1变化了2ni﹣1次之后变成0， 所以将A1中所有分量1变为0共需要（2n1﹣1）+（2n2﹣1）+（2n3﹣1）+（2n4﹣1）+（2n5﹣1）=2（n1+n2+n3+n4+n5﹣2）﹣1次，此数为奇数． 又因为

，说明Ai中的分量有2个数值发生改变，

进而变化到Ai+1，所以共需要改变数值2（m﹣1）次，此数为偶数，所以矛盾． 所以该序列中不存在5维T向量（0，0，0，0，0）．… （Ⅲ）存在正整数j使得

，Aj为12维T向量序列中的项，此时

m=1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12．…

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