当前位置：首页 > 中国人民大学出版社（第四版）高等数学一第6章课后习题详解
思路：抛物线表达为y??2px（或x?y22p），代入相应公式计算弧长
解：x??yp，
∴s??ba?y1???0p21?x?dx??01??yp??ypp?ydy, y?0?p?ydy, y?02222?y1p022p?ydy
y?ptant
??p2arctan0psectdt?3p2arctanyp(secttant?lnsect?tant)0
?(yp?yp222?lny?p?ypx22
（或通过公式s??ba1?y?dx?2?01?p2xdx计算）
★★★★6．证明曲线
22y?sinx的一个周期（0?x?2?）的弧长等于椭圆x?2y?2的周长。
思路：分别求出y?sinx的弧长s1及椭圆的周长s2，求椭圆周长时采用参数式求解 解： y?sinx的弧长s1???ba1?y?dx?2?2??01?cos2xdx?4?201?cos2xdx
?4?201?sin2xdx
椭圆方程表达为：x??222cost，y?sint；代入公式得弧长
?? s2?4?20x??y?dt?4?202sin2t?costdt?4?2021?sin2tdt
∴s1?s2
★★★7．求对数螺线r?ea?相应于自??0至???的一段弧的弧长。
a?思路：曲线是极坐标的表达式r?e?，因此代入公式s????22r(?)?r?(?)d?
解： s???r(?)?r?(?)d??22?34?0e2a??ae4322a?d??1?aa2(ea??1)
★★★8．求曲线r??1相应于自??至??的一段弧的弧长。
思路：曲线是极坐标的表达式r?1?，因此代入公式s????22r(?)?r?(?)d?
4解： s????4r(?)?r?(?)d??22?3341?2?1?4d??(?1??23??ln1??2??)
34?512?ln32
222（其中
?1????tant?2d???tansect2tsectdt?2?sin12tcostdt??2sint?cost2sintcost1??dt
??(sect?sincost2t)dt?lnsect?tant?121sint22?C?ln1??????）
★★★9求曲线x?arctant，y?ln(1?t)相应于自t?0至t?1的一段弧的弧长。
思路：曲线是参数表达式x??(t),y??(t)，因此代入公式s??221???22??(t)???(t)dt
解：s?????(t)???(t)dt??1(1?t)220?t222(1?t)dt??111?t20dt
1 ?lnt?1?t20?ln(1?2)
习题6-5
★1．设一质点距原点x米时，受F(x)?x2?2x牛顿力的作用，问质点在F作用下，从x?1移动到
x?3，力所做的功有多大？
知识点：微元法在物理上的应用
思路：当变力沿直线作功，质点从x至x?dx段所作功的微元dW?F(x)dx。 解：∵dW?F(x)dx?(x?2x)dx
322∴W??1(x?2x)dx?(x333?x)12?503
★★2．某物体作直线运动，速度为v?1?t(m/s)，求该物体自运动开始到10s末所经过的路程，并
求物体在前10s内的平均速度。
知识点：微元法在物理上的应用
思路：变速直线运动物体在t至t?dt时间段内所经过路程的微元dS?V(t)dt。 解：∵dS?V(t)dt?1?tdt
∴S??1001?tdt?23023310(1?t)20?23(1111?1) （m）；
V?
S10?(1111?1)（m/s）
★★★3．直径为
20cm，高为80cm的圆柱体内充满压强为10N/cm的蒸汽，设温度保持不变，要使蒸汽
2体积缩小一半，问需要作多少功？
知识点：微元法在物理上的应用
思路：设P为压强、体积为V，根据物理学原理，当温度不变时压强和体积成反比，因此当圆柱体的高
为h时，P?k?10h2, k?10??10?80。
800h2解：∵压力p=压强?面积，∴当圆柱体的高为h时压力p?功的微元dW?∴W???10，
280000?hdh
?8080000?h40dh?800?ln2 , (Nm)
★★★4．半径为R的半球形水池充满了水，要把池内的水全部吸尽，需作多少功？
知识点：微元法在物理上的应用
思路：设半球形水池的方程为x2?y2?z2?R2（z?0），见图6-5-4，则将z至z?dz薄片体
积的水吸出，克服重力所作的功为dW????(R2（?是水的比重，可取1kg/m） ?z)dz?g?z，
23z0 y z?dz zx 图6-5-4
解：∵ dW????(R?z)dz?g?z，
022∴W????Rg?z(R?z)dz?22?gR44 (Nm)
★★★5．设有一半径为R，长度为l圆柱体平放在深度为2R的水池中（圆柱体的侧面与水面相切），设
圆柱体的比重为?(??1)，现将圆柱体从水中移出水面，问需要作多少功？
知识点：微元法在物理上的应用
思路：设圆柱体的方程为(x?R)2?y2?R2，见图6-5-5，则将x至x?dx段薄圆台为底高为l的
柱体移出水面，浮力减重力所作的功为
dW1?2lR?(x?R)dx??g?x?2lR?(x?R)dx?g?x，
另外，因要求整个柱体出水，因此该部分还需在空中移动2R?x距离，该部分的功
2222dW2?2lR?(x?R)dx??g(2R?x)
22?(2R?x) y 0 R x x?dx 图6-5-5 x
解：∵dW?dW1?dW2?2lg∴W? ?R?(x?R)(2R??x)dx，
22x?R?u22?2R02lg(2R??x)R?(x?R)dx223??R?R2lg(2R??u?R)R?u du
22?R?R2lg(2??1)RR?udu??Rl(2??1)g , (Nm)
2m，求闸门上所受的水压力。
★★6．有一闸门，它的形状和尺寸如下图所示，水面超过门顶
知识点：微元法在物理上的应用
思路：由物理知识可知，水深h处的压强为p??h，（?为水的比重）以门顶中心为原点向下建立x轴，
见图6-5-6，则在x至x?dx段门条上所受的水压力为dP??(x?2)?2dx
本文作者：...共分享92篇相关文档
