中国人民大学出版社（第四版）高等数学一第6章课后习题详解

★★★5．求摆线x?a(t?sint)，y?a(1?cost)的一拱与y?0所围图形绕直线y?2a轴旋转而

成的旋转体体积。

知识点：旋转体体积

?0?x?2?思路：若设所围区域为D，则该平面图形绕y?2a旋转而成体积V可看作矩形区域D1：??0?y?2a绕y?2a旋转而成的体积V1，减去区域D2：??0?x?2??y(x)?y?2a绕y?2a旋转而成的立体体积V2所

得，（其中，y(x)表示摆线的函数式，见图6-3-5

y ?x?a(t?sint) ?y?a(1?cost)? 2a D2 0 图6-3-5 2 2?a x 解：V?V1?V2??(2a)?2?a?V?8a???22?2?a02?(2a?y)dx，作代换x?a(t?sint)，则

2?322?0?(a?acost)ad(t?sint)?8a???2?02220?asint(1?cost)dt

332?8a???a(?★★★★6．求x231?cos2t2dt??2?0sintdsint)?7?a

22?y22?a绕x??b（b?a?0）旋转而成的旋转体体积。

知识点：旋转体体积

222思路：由图形的对称性可知所求体积V?2V1，其中V1是由x?y?a（y?0）部分，绕x??b旋转而成的旋转体体积，又根据元素法，V1是由图形中的线段y（0?y?转一周所得的圆柱面叠加而成，见图6-3-6

图6-3-6 a?x22）绕x??b旋

x??b 线段y ?a0 x x?dx ar

解：V?2V1?2?2?(x?b)a?xdx?4?b??aa22a?aa?xdx?2?ab

2222★★★★7．由心形线??4(1?cos?)和射线??0及???2所围图形绕极轴旋转而成的旋转体体积。

知识点：旋转体体积

思路：极坐标中的此平面图形绕极轴旋转相当于直角坐标系下的该图形绕x轴旋转 解：平面区域D：0???4(1?cos?)（0???

∵心形线??4(1?cos?)的直角坐标表示：

0 图6-3-7 8 ?2y ），见图6-3-7

??4(1?cos?) r?x?4(1?cos?)cos?222 （0?x?8），根据直角坐标下的体积计算及x?y??，得： ??y?4(1?cos?)sin?8282282V??0?ydx??0?(??x)dx??0??dx?833?3

x?4(1?cos?)cos?????16(1?cos?)2202d[4(1?cos?)cos?]?8383????64?(1?cos?)20[d(1?cos?)?d(1?cos?)]?023?

?64?[12(1?cos?)?413(1?cos?)]?23?833??160?

★★★8．计算底面是半径为R的圆，而垂直于底面上的一条固定直径的所有截面都是等边三角形的立体体

积。

知识点：已知平行截面面积的立体体积

思路：首先以固定直径为x轴确立圆方程：x?y?R，再求垂直于x轴的截面面积，然后代入公

式。见图6-3-8

222

z y x x图6-3-8 解：以固定直径为x轴圆心为坐标原点，则圆方程为：x2?y2?R2，

123在圆内，垂直于x轴的截面面积A(x)??2y?322y?3(R?x)，

22∴V??R?R3(R?x)dx?22433R

★★9．求曲线xy?a(a?0)与直线x?a，x?2a及y?0所围成的图形分别绕ox轴、oy轴旋转

一周所产生的旋转体体积。

知识点：旋转体体积

思路：作出平面图形（或求出该平面区域的x、y范围），代入相应的公式 a?x?2a??a，绕x轴旋转产生的立体体积： V?解：平面图形D：?0?y??x?2aa2绕y轴旋转产生的立体体积： V??2?xdx?2?a

ax（绕y轴旋转产生的立体体积如同1（2）也有两种计算法）

★★★★10．设直线

?2aa?()dx?xa212?a；

及y?0所围成的梯形面积等于A，试求a、b，y?ax?b与直线x?0，x?1，

使这个梯形绕x轴旋转所得旋转体体积最小（a?0，b?0）。

知识点：旋转体体积，以及最值问题

思路：作出平面图形（或求出该平面区域的x、y范围），进而求出以a,b为变量的旋转体体积，再求

最小值。 y?ax?b 解：梯形区域D：0?x?1 ，0?y?ax?b， 0 1

12∴V??0?(ax?b)dx??(a23?ab?b)

4322∵由条件 V?(b)?1223(b?a?b)?A，∴V(b)??(A?23Ab?13b)

2?(b?A)?0，得b?A，a?0

习题6-4

★★1．用定积分表示双曲线xy?1上从点（1，1）到点（2，1/2）之间的一段弧长。

思路：曲线表达为y?1x（或x?1y）代入相应公式计算弧长

解：y???1x2，∴s??ba1?y?dx?2?211?1x4dx

★★2．计算曲线

y?lnx上相应于3?x?8的一段弧的弧长。

思路：曲线表达为y?lnx（或x?ey）代入相应公式计算弧长

1xb83解：y??，∴s??a1?y?dx?2?31?1x2dx??831?xx221(dx)?222x?t12?81?tt3dt

1?t?u??3u222u?1du?(u?1312lnu?1u?1)2?1?12ln32

★★3．计算曲线y?x(3?x)上相应于1?x?3的一段弧的弧长。

解：y??12x?x2?123(1x?x)，

3∴s??ba1?y?dx?142?211?12(1?x)4x2dx??31?x2x1dx)?12(2x?233x21?23?43

★★4．计算曲线x?y?lny（1?y?e）的弧长。

解：x??y2?12y?12(y?1y)，

e∴s??ba1?x?dy?2?e11?14(y?1y)dy?2?ey?111ye?1dy?(?lny)? 2y2241222★★★5．计算抛物线y2?2px（p?0）从顶点到其上点M(x,y)的弧长。