中国人民大学出版社（第四版）高等数学一第6章课后习题详解

★★★★15．求由曲线r?3cos?及r?1?cos?所围图形的面积

知识点：平面图形面积

思路：作图可知两条闭围线围成的图形由三部分组成，其中一部分为两图形重叠部分D，而D又关于极

?轴对称，设?在（0，）内的曲线和极轴围成的半个D为D1区域

2

图6-2-15 0 3/2 r Dr?1?cos? ???/3 r?3cos? 解：两条曲线r?3cos?、r?1?cos?交于????3处，

???????0??????因此分割区域D1?Da?Db，其中Da：?，Db：?332

???0?r?1?cos??0?r?3cos??SD?2SD1?2[?3012?(1?cos?)d???2??212(3cos?)d?]?223

33?191?1?2[??(2sin??sin2?)?(??sin2?23422640)]?54??3★★★16．求由曲线r?2sin?及r2?cos2?所围图形的面积

知识点：平面图形面积

思路：作图可知两条闭围线围成的图形由三部分

组成，其中一部分为两图形重叠部分D，而D又关于射线??在（0，

D1?2r?2sin? 对称，设两条曲线

???/4 ?2）围成的半个D为D1区域

0 ???/6 r 图6-2-16 r2?cos2?

解：两条曲线r?22sin?、r?cos2?交于???6及??5?6

?????????0????因此分割区域D1?Da?Db，其中Da：?，Db：? 662???0?r?2sin??0?r?cos2??SD?2SD1?2[?6012?(2sin?)d????2??212cos2?d?]

6?2(12??6?14sin2?6?14sin2?2)??6?320?6（和书后答案不同）

★★★17．求由摆线x?a(t?sint)，y?a(1?cost)(0?t?2?)及x轴所围图形的面积

知识点：平面图形面积

思路：在直角坐标系下作图可知所围图形的

x、y变化范围，先求出直角坐标系下积分

表达式，再将积分变量代换成t

y D ?x?a(t?sint) ??y?a(1?cost)解：∵所围区域D：??0?x?2?a?0?y?y(x)，

（y?y(x)为摆线）

2?a0 图6-2-17 2?a x ∴SD??0y(x)dx，

作代换x?a(t?sint)， 则SD??2?0a(1?cost)d[a(t?sint)]??2?0a(1?cost)dt?2232a?2??3?a

22习题6-3

1． 求下列平面图形分别绕x轴、y轴旋转产生的立体体积：

★(1)．曲线

y?x与直线x?1、x?4、y?0所围成的图形；

y D知识点：旋转体体积 思路：作出平面图形（或求出该平面区域的x、y范围），

代入相应的公式。

y?x ?1?x?4解：平面图形D：?，见图6-3-1-1

0?y?x?

0 14 x 图6-3-1-1

绕x轴旋转产生的立体体积： V? 绕y轴旋转产生的立体体积：V?★★(2)．在区间[0, ?41?(x)dx?xdx?12452152?；

?412?x?(和书上答案不同)

?2]上，曲线y?sinx与直线x??2、y?0所围成的图形；

???0?x?解：平面图形D：?见图6-3-1-2， 2，

??0?y?sinx

绕x轴旋转产生的立体体积：

?y 1 D2 y?sinx D V??20?(sinx)dx?2142?；

0 ?/2x 绕y轴旋转产生的立体体积：

??图6-3-1-2 ???方法一：V??202?xsinxdx?2??20(?x)dcosx?2?(?xcosx20?sinx20)?2?

方法二：V可看作由D1（矩形0?x??2，0?y?1）绕y轴旋转而成的体积V1，减去由D2（0?y?1，0?x?arcsiny）绕y轴旋转而成的立体体积V2所得

∴V??(?2)?2?10?(arcsiny)dy?2?

2★(3)．曲线

3y?x与直线x?2、y?0所围成的图形。

解：平面图形D：??0?x?2?0?y?x3，绕x轴旋转产生的立体体积： V??20?(x)dx?321287?；

绕y轴旋转产生的立体体积：V??202?xxdx?3645?

（绕y轴旋转产生的立体体积如同（2）也有两种计算法）

★★2．求由曲线

y?x、x?y所围成的图形绕y轴旋转一周所产生的旋转体体积。

22知识点：旋转体体积

?0?y?1V思路：该平面图形绕y轴旋转而成体积可看作D1：?绕y轴旋转而成的体积V1，减去

0?x?y?D2：?

?0?y?1?0?x?y2绕y轴旋转而成的立体体积V2所得，见图6-3-2

y D1 y?x 2y2?x 1 D20 1 x

解： V?V1?V2?★★3．求由曲线

1图6-3-2 ?0?(y)dy?2?10?(y)dy?22310?

y?sinx（0?x??）与x轴围成的平面图形绕y轴旋转一周所产生的旋转体体积。

知识点：旋转体体积

思路：作出平面图形（或求出该平面区域的x、y范围），代入相应的公式 解：平面图形D：??0?x???0?y?sinx，绕y轴旋转产生的立体体积： V???02?xsinxdx?2?

2（绕y轴旋转产生的立体体积如同1（2）也有两种计算法）

★★★4．求由曲线

y?achxa，x?0，x?a，y?0（a?0）所围成的图形绕x轴旋转而成的立

体体积。

知识点：旋转体体积

思路：作出平面图形（或求出该平面区域的x、y范

围），代入相应的公式

y 0?x?a??x，见图6-3-4， 解：平面图形D：?0?y?ach?a?

绕x轴旋转产生的立体体积：

y?achxa D a 0 a 图6-3-4 x V??a0?(achxa)dx?a?22?ach2xa2?1dx?a?(2a40sh2xaa?0a2)??a43(2?sh2)