中国人民大学出版社（第四版）高等数学一第6章课后习题详解

：平面图形面积

思路：由于所围图形表达为X-型时，解法较简单，所以用X-型做 解：见图6-2-7

∵两条曲线y?e和y?e (1, e)和(1, e?1xy y?e?x xy?e D 1 x 0 图6-2-7 1 ?x的交点为（0，1），又这两条线和x?1分别交于

)

?0?x?1∴所围区域D表达为X-型：??x， xe?y?e?∴SD??10(e?ex?x)dx?(e?ex?x)10?e?e?1?2

★★★8．求由曲线y?lnx与直线y?lna及y?lnb所围图形的面积(b?a?0)

知识点：平面图形面积

思路：由于所围图形表达为Y-型时，解法较简单，所以用Y-型做 解：见图6-2-8

y y?lnb y?lnx

y?lna 0 1 lna lnb x

图6-2-8 ?lna?y?lnblnx∵在的定义域范围内所围区域D：?， y0?x?e?∴SD??lnblnaedy?eyylnblna?b?a

y轴，且

★★★★9．求通过（0，0），（1，2）的抛物线，要求它具有以下性质：（1）它的对称轴平行于

向下弯；（2）它与x轴所围图形面积最小

知识点：平面图形面积和求最值

思路：首先根据给出的条件建立含参变量的抛物线方程，再求最值时的参变量

解：由于抛物线的对称轴平行于y轴，又过（0，0），所以可设抛物线方程为y?ax2?bx，（由于下

弯，所以a?0），将（1，2）代入y?ax 该抛物线和X轴的交点为x?0和x?22?bx，得到a?b?2，因此y?ax?(2?a)x

a?2a，

a?2?0?x??∴所围区域D：? a?0?y?ax2?(2?a)x?a?2a?2∴SD??a0[ax2?(2?a)x]dx?(a3x?32?a2x)02a?(a?2)6a23

1?21?3?23?32SD(a)?[a?3(a?2)?(a?2)?(?2a)]?a(a?2)(a?4)

66得到唯一极值点：a??4， ∴所求抛物线为： y??4x★★★★10．求位于曲线

x2?6x

y?e下方，该曲线过原点的切线的左方以及x轴上方之间的图形的面积

知识点：切线方程和平面图形面积

思路：先求切线方程，再作出所求区域图形，然后根据图形特点，选择积分区域表达类型

xx解：y?e?y??e，∴在任一点x?x0处的切线方程为y?ex0?ex0(x?x0)

而过（0，0）的切线方程就为：y?e?e(x?1)，即y?ex 所求图形区域为D?D1?D2,见图6-2-10

图6-2-10 0 y y?e y?exxD1 D2xX-型下的D1：?????x?0?0?y?e1xx，D2：??0?x?1?ex?y?ex

∴SD??0??edx?x?0(e?ex)dx?ex1???e21x20?e?e2?e2

★★★11．求由曲线r?2acos?所围图形的面积

知识点：平面图形面积

思路：作图可知该曲线是半径为a、圆心（a, 0）的圆在极坐标系下的表达式，可直接求得面积为?a2，

也可选择极坐标求面积的方法做。

解：∵作图6-1-11

图6-1-11 0 r a 2a????????知所求图形区域D：?22

??0?r?2acos???∴SD??21??2(2acos?)d??2a(??sin2?)222?asin3?的面积S

22112??a

?22?★★★12．求三叶玫瑰线r知识点：平面图形面积

思路： 三叶玫瑰由三瓣面积相等的叶片组成

图6-2-12中所画是三叶玫瑰中的一叶， 而一叶图形又关于?? r?asin3??6 对称，

D 1因此选择其中一叶的一半区域D1求其面积

?/6 ???0???解：∵D1：? 6??0?r?acos3??0 图6-2-12 r ?∴SD?6SD1?6★★★13．求由曲线r?610(acos3?)d??3a(??sin6?)22622116?14?a

20?2a(2?cos?)所围图形的面积

知识点：平面图形面积

思路：作图可知该曲线围成的图形关于极轴对称，因此选择其中一半区域D1求其面积

3a 4a D r?2a(2?cos?) 6a

解：∵D1：?∴

0 r 图6-2-13 ?0?????0?r?2a(2?cos?)

SD?2SD1?2??01[2a(2?cos3?)]d??4a[4??(sin3????sin6?)23212?ae?22411??18?a02★★★14．求对数螺线?(??????)及射线???所围图形的面积

知识点：平面图形面积

思路：作图可知该曲线围成的图形是由??ae?，?从??到?一段曲线及射线???所围，由此可

确定?、?的范围

ae?/2

r?ae ?

r ae? ae??a

图6-2-14

???????解：∵所围区域D：? ?0???ae??∴SD???2?1(ae)d???2a22?12?e2????a24(e2??e?2?)