中国人民大学出版社（第四版）高等数学一第6章课后习题详解

高等数学一第6章课后习题详解

课后习题全解

习题6-2

★ 1．求由曲线

y?x与直线y?x所围图形的面积。

知识点：平面图形的面积

思路：由于所围图形无论表达为X-型还是Y-型，解法都较简单，所以选其一做即可 解： 见图6-2-1

y Dy?x

y?x 0 1 图6-2-1 x

∵所围区域D表达为X-型：??0?x?1?x?y?x3， （或D表达为Y-型：?1?0?y?1?y2?x?y）

∴SD??10(x?x)dx?(1223x2?12x)02?16

（SD?★ 2．求在区间[0，??0(y?y)dy?16）

/2]上，曲线y?sinx与直线x?0、y?1所围图形的面积

知识点：平面图形面积

思路：由于所围图形无论表达为X-型还是Y-型，解法都较简单，所以选其一做即可 解：见图6-2-2

0 ?/2y D y?sinx 1 x ?图6-2-2

??0?y?1??0?x?∵所围区域D表达为X-型：?， （或D表达为Y-型：） ?2?0?x?arcsiny??sinx?y?1?? ∴SD??20(1?sinx)dx?(x?cosx)120??2?1

（ SD?★★3．求由曲线

?0arcsinydy?2?2?1）

y2?x与y??x?4所围图形的面积

知识点：平面图形面积

思路：由于所围图形表达为Y-型时解法较简单，所以用Y-型做 解：见图6-2-3

0 4 y y2??x?4y2?x 2 x ?2图6-2-3 ?2?y2?x?x?2??∵两条曲线的交点：?2，

y??2??y??x?4∴所围区域D表达为Y-型：????y22?y?22，

?x?4?y∴SD??22?(4?y?y)dy?(4y?22232y)?23?1632

（由于图形关于X轴对称，所以也可以解为：

222SD?2?0(4?y?y)dy?2(4y?232y)03?1632）

★★4．求由曲线

y?x、4y?x、及直线y?1所围图形的面积

22知识点：平面图形面积

思路：所围图形关于Y轴对称，而且在第一象限内的图形表达为Y-型时，解法较简单

解：见图6-2-4

图6-2-4 Dyy?x 4y?x 22 1D1x 0 1 2 ∵第一象限所围区域D1表达为Y-型：??0?y?1y1?y?x?2233，

∴SD?2SD?21?10(2y?y)dy?2?y20?43

?0?x?1?2（若用X-型做，则第一象限内所围区域D1?Da?Db，其中Da：?x2，

?y?x??42?1?x?21x?22Db：?x；∴SD?2SD?2[?(x?)dx?10?y?14??4?21(1?x24)dx]?43）

★★5．求由曲线y?1x与直线y?x及x?2所围图形的面积

知识点：平面图形面积

思路：由于所围图形表达为X-型,解法较简单，所以用X-型做 解：见图6-2-5

D y 1 y?x

y?1/xx 0 1 图6-2-5 2

∵两条曲线y?1x和y?x的交点为（1，1）、（-1，-1），又这两条线和x?2分别交于

(2, )、(2, 2)

121?x?2??∴所围区域D表达为X-型：?1，

?y?x??x∴SD??21(x?1x)dx?(1222x?lnx)122?32?ln2

★★★6．抛物线y2?2x分圆x?y?8的面积为两部分，求这两部分的面积

知识点：平面图形面积

思路：所围图形关于X轴对称，而且在第一象限内的图形表达为Y-型时，解法较简单 解：见图6-2-6，设阴影部分的面积为SD，剩余面积为SD

12

y

y2?2xD1

0 0 x

图6-2-6

∵两条曲线y2?2x、x?y22?8的交于(2,?2)（舍去x??4的解），

?2?y?2??2 ∴所围区域D1表达为Y-型：?y2；又图形关于x轴对称，

?x?8?y??22∴SD1?2?0(8?y2?y22)dy?2(??208?y2?y326)?2(??2?043)?2??43

（其中

?208?ydy43x2y?22sint???4022cost?22costdt?8?401?cos2t2dt???2）

∴SD2??8?2??★★★7．求由曲线

?6??43?x

与直线x?1所围图形的面积

y?e、y?e