实变函数第一章复习题及解答(1)

第一章复习题（一）

一、判断题

1、大人全体构成集合。（×） 2、小个子全体构成集合。（×） 3、所有集合都可用列举法表示。（×） 4、所有集合都可用描述法表示。（√） 5、对任意集合A，总有铺A。（√）

A。6、(A-B)?B（×） 7、(A-B)?BA?B(B-A) A。（√）

8、若BíA，则(A-B)?B9、A枪Ac10、A?B11、(A?B)c12、(A惹B) ，A?AcA。（√）

X，其中X表示全集。（×）

（×） B A。

Ac Bc，(A?B)cC=(A侨C)（×） Ac Bc。

C=(A惹C)(B C)。（√）

(B C)，(A侨B)13、若A:B，B:C，则A:C。（√） 14、若A:B，则A=B，反之亦然。（√）

15、若A=A1 A2，B=B1 B2，且A1:B1，A2:B2，则A:B。（×） 16、若AíB，则A￡B。（√）

17、若AíB，且A1B，则A

18、可数集的交集必为可数集。（×）

19、有限或可数个可数集的并集必为可数集。（√） 20、因整数集ZD有理数集Q，所以Q为不可数集。（×） 21、(Ac)c=A。（√）

二、证明题

1、证明：A-B=A Bc。

证明：对任意x?A所以A-B糖A即x?AB，有x?A且x?B，从而x?A且x?Bc，即x吻ABc，

Bc；反之，对任意x吻ABc，有x?A且x?Bc，从而x?A且x?B，

B，所以A-B汕ABc。综上所述A-B=A Bc。

2、证明：A-(A-B)=A B。

AB；证明：对任意x?A(A-B)，有x?A且x?AB，从而x?A且x?B，即x吻反之，对任意x吻AB，有x?A且x?B，从而x?A且x?AB，即x?A(A-B)。故A-(A-B)=A B。

3、证明：(A?B)C=(A-C)?(BC)。

证明：对任意x稳(AB)-C，有x稳AB且x?C，从而x?A或x?B且x?C，即x?AC或x?BC，所以x?(AC)?(BC)。 反之，对任意x?(AC)?(BC)，有x?AC或x?BC，从而x?A且x?C或x?B且x?C，即x?A或x?B且x?C，所以x稳(AB)-C。故

(A?B)C=(A-C)?(BC)。

4、证明：A-(B?C)(A-B)?(AC)。 证明：对任意x?A(B C)，有x?A且x?B，x?C，从而x?A且x?B且x?A且x?C，即x?AB且x?AC，所以x?(AB)?(AC)。 反之，对任意x?(AB)?(AC)，有x?AB且x?AC，从而x?A且x?B且x?A且x?C，即x?A且x?B，x?C，所以x?A(B C)。故

(A?B)C=(A-C)?(BC)。 5、证明：自然数集与奇数集对等。

证明：记自然数集为N={nn=0,1,2,L}，奇数集为A={2n+1n=0,1,2,L}。 作映射如下：f:N?A， naf(n)=2n+1。

易见f是N到A的一一映射，所以N:A，即自然数集与奇数集对等。

6、证明：在圆周上去掉一点后余下的点所成之集与实数集对等。

证明：记圆周上去掉一点后余下的点所成之集为A，实数集为R。作如图示，A到R的映射f如下：f:N?A，xaf(x)=y。

易见，f是A到R的一一映射，所以A:R。

7、证明：由直线上互不相交的开区间所组成的集合至多只有可数个。

证明：记G为直线上互不相交的开区间所成的集合，对任意A?G（A是开区间），根据有理数的稠密性，取一个有理数rA?A，并记B={rArA挝A,AG} Q（Q是有理数

集，它是可数集），从而B是至多可数集。由于G中的任意两个开区间互不相交，所以G到B的如下映射：

f:G?B，Aaf(A)=rA，

为G到B的一一映射，即G:B，所以G为至多可数集。

8、证明：整系数多项式全体所成的集为可数集。

证明：记Pn={anxn+an-1xn-1+L+a0an,an-1,L,a0 Z}（Z为整数集，它为可数集），由于Pn由n+1个独立的指标an,an-1,L,a0确定，且每个指标都跑遍一个可数集。所

￥以Pn是可数集，又整系数多项式全体所成的集=UPn，所以，整系数多项式全体所成的

n=0集为可数集。

9、证明：有理数集为可数集。

证明：记Q+为正有理数集，则有理数集Q=Q+U{0}UQ-。显然Q+Q-为负有理数集，

1212=U{,,L}，{,,L}是可数集，所以Q+是可数集，从而Q-也是n=1nnnn￥与Q对等，而Q-+可数集。故有理数集Q=Q+U{0}UQ-是可数集。

10、证明：若f(x)为[a,b]上的连续函数，且f(x)不恒为常数，则f([a,b])的基数为c。

证明：由连续函数的性质，f([a,b])必为闭区间，又f(x)不恒为常数，所以f([a,b])必为长度不为零的闭区间，从而f([a,b])的基数为c。

11、证明：[0,1]中的无理点所成的集（记为E）具有连续基数c。

证明：显然[0,1]中的无理点所成的集E是无限集，记Q[0,1]为[0,1]中的有理点所成的集，则[0,1]=EUQ[0,1]，而Q[0,1]为可数集，所以E=[0,1]=c。

12、证明：不可数集减可数集的差集仍为不可数集。

证明：记A是不可数集，B是可数集，因为A=(A-B)惹(AB)，且A-B为无限集

（因为，否则的话，A是至多可数集，与A是不可数集矛盾），A?B为至多可数集（因为

A翘BB，B是可数集，所以A?B为至多可数集），所以，A=A-B，即A:A-B，

所以，A-B仍为不可数集。