新课改瘦专用2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测二十六简单的三角恒等变换含解析新人教A版

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ππ7π∴－≤2x－≤. 666π?1?∴－≤sin?2x－?≤1，

6?2?π??∴－2≤2sin?2x－?－1≤1， 6??

?π??2π?2

故函数g(x)＝3f?－2x?－2f(x)在区间?0，?上的值域是[－2,1]．

3??2??

二、专项培优练

(一)易错专练——不丢怨枉分

1．(2019·武汉八校联考)已知3π≤θ≤4π，且 则θ＝( )

A.C.

10π11π

或 3313π15π或 44

B.D.

37π47π

或 121219π23π或 66

1＋cos θ

2

1＋cos θ

＋2

1－cos θ6

＝，22

3πθθθ

解析：选D ∵3π≤θ≤4π，∴≤≤2π，∴cos ≥0，sin≤0，则 2222＋

1－cos θ

＝ 2

cos

2

θ

＋ 2

sin

2

θθθ6?θπ?＝cos－sin ＝2cos?＋?＝，∴222?24?2

θπ?3θππθπππ?cos?＋?＝，∴＋＝＋2kπ，k∈Z或＋＝－＋2kπ，k∈Z，即θ＝－＋

2462466?24?25π19π23π

4kπ，k∈Z或θ＝－＋4kπ，k∈Z.∵3π≤θ≤4π，∴θ＝或，故选D.

666

2．若tan(α＋80°)＝4sin 420°，则tan(α＋20°)的值为( ) A．－

3

5

B.33

53 7

C.

3 19

D.

解析：选D 由tan(α＋80°)＝4sin 420°＝4sin 60°＝23，得tan(α＋20°)＝tan[(α＋80°)－60°]＝

1＋

α＋α＋

－tan 60°

23－33＝＝. 1＋23×37

3

3．若sin αcos β＝，则cos αsin β的取值范围为________．

4解析：因为sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β 3

＝＋cos αsin β，且－1≤sin(α＋β)≤1， 4

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71所以－≤cos αsin β≤.

44

3

同理sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝－cos αsin β，

417

且－1≤sin(α－β)≤1，所以－≤cos αsin β≤. 4411

综上可得－≤cos αsin β≤. 44

?11?答案：?－，? ?44?

(二)交汇专练——融会巧迁移

3?ππ?4．[与不等式交汇]已知tan 2α＝，α∈?－，?，函数f(x)＝sin(x＋α)－sin(x4?22?π??－α)－2sin α，且对任意的实数x，不等式f(x)≥0恒成立，则sin?α－?的值为( )

4??

25

A．－

523C．－

5

B．－D．－5 53 5

32tan α31

解析：选A 由tan 2α＝，即＝，得tan α＝或tan α＝－3.又f(x)＝2

41－tan α43sin(x＋α)－sin(x－α)－2sin α＝2cos xsin α－2sin α≥0恒成立，所以sin α≤0，tan α＝－3，sin α＝－25

＝－，故选A.

5

π??5．[与向量交汇]设向量a＝(cos α，－1)，b＝(2，sin α)，若a⊥b，则tan?α－?4??＝________.

解析：∵a＝(cos α，－1)，b＝(2，sin α)，a⊥b，∴2cos α－sin α＝0，∴tan απ

tan α－tan

4π?2－11?＝2，∴tan?α－?＝＝＝.

4?π1＋2×13?

1＋tan α·tan

4

1答案： 3

6．[与三角形交汇]在△ABC中，已知sin A＝13sin Bsin C，cos A＝13cos Bcos C，则tan A＋tan B＋tan C的值为_______________________________________________．

310

，cos α＝1

π?ππ?，所以sin?α－?＝sin αcos－cos αsin4?44?10

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解析：由题意知cos A，cos B，cos C均不为0，由sin A＝13sin Bsin C，cos A＝13cos

Bcos C，得tan A＝tan Btan C．又因为cos A＝13cos Bcos C，且cos A＝－cos(B＋C)＝sin Bsin C－cos Bcos C，所以sin Bsin C＝14cos Bcos C，所以tan Btan C＝14.又tan B＋tan C＝tan(B＋C)(1－tan Btan C)＝－tan A(1－tan Btan C)，所以tan A＋tan B＋tan C＝tan Atan Btan C＝196.

答案：196

?π?2x7．[与函数零点交汇]函数f(x)＝4coscos?－x?－2sin x－|ln(x＋1)|的零点个数为2?2?

________．

?π?2x解析：因为f(x)＝4coscos?－x?－2sin x－|ln(x＋1)|＝2(1＋cos x)sin x－2sin x2?2?

－|ln(x＋1)|＝sin 2x－|ln(x＋1)|，所以函数f(x)的零点个数为函数y＝sin 2x与y＝|ln(x＋1)|

图象的交点的个数，作出函数y＝sin 2x与y＝|ln(x＋1)|图象如图，由图知，两函数图象有2个交点，所以函数f(x)有2个零点．

答案：2

(三)素养专练——学会更学通

8．[数学建模]如图，在矩形OABC中，AB＝1，OA＝2，以B为圆心，BA为半径在矩形内部作弧，点P是弧上一动点，PM⊥OA，垂足为

M，PN⊥OC，垂足为N，求四边形OMPN的周长的最小值．

π

解：如图，连接BP，设∠CBP＝α，其中0≤α＜，

2则PM＝1－sin α，PN＝2－cos α，

π??则周长C＝6－2(sin α＋cos α)＝6－22sin?α＋?， 4??πππ3π

因为0≤α＜，所以≤α＋＜，

2444

πππ

故当α＋＝，即α＝时，周长C有最小值6－22.

424

9．[数学运算]已知函数f(x)＝2cosωx－1＋23sin ωxcos ωx(0＜ω＜1)，直线x＝

2

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π

是函数f(x)的图象的一条对称轴． 3

(1)求函数f(x)的单调递增区间；

(2)已知函数y＝g(x)的图象是由y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，然π?62π??π?后再向左平移个单位长度得到的，若g?2α＋?＝，α∈?0，?，求sin α的值． 3?52?3??

π??解：(1)f(x)＝cos 2ωx＋3sin 2ωx＝2sin?2ωx＋?，

6??π?π?由于直线x＝是函数f(x)＝2sin?2ωx＋?的图象的一条对称轴，

6?3?2πππ

所以ω＋＝kπ＋(k∈Z)，

36231

解得ω＝k＋(k∈Z)，

221

又0＜ω＜1，所以ω＝，

2

?π?所以f(x)＝2sin?x＋?.

6??

πππ

由2kπ－≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，

2622ππ

得2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)，

33

2ππ??所以函数f(x)的单调递增区间为?2kπ－，2kπ＋?(k∈Z)．

33??

?1?2π?π?(2)由题意可得g(x)＝2sin??x＋?＋?，

3?6??2?

即g(x)＝2cos，

2

π??π?π?6π?3?1????由g?2α＋?＝2cos??2α＋??＝2cos?α＋?＝，得cos?α＋?＝， 3??3?6?56?5????2?ππ2π?π?又α∈?0，?，故＜α＋＜，

2?663?π?4?所以sin?α＋?＝， 6?5?π?π???所以sin α＝sin??α＋?－?

6?6???

π?π?ππ??＝sin?α＋?·cos－cos?α＋?·sin

6?6?66??

x