2017-2018学年人教B版高中数学选修4-4全册同步教学案

2017-2018学年高中数学人教B版选修4-4同步教学案

的极坐标(ρ，θ)来表示．这时，极坐标与平面内的点之间就是一一对应的关系．

3．若点M的极坐标为(ρ，θ)，则M点关于极点、极轴、过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标是什么？

提示：设点M的极坐标是(ρ，θ)，则M点关于极点的对称点的极坐标是(－ρ，θ)或(ρ，θ＋π)；M点关于极轴的对称点的极坐标是(ρ，－θ)；M点关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标是(ρ，π－θ)或(－ρ，－θ)．

[对应学生用书P5]

π??

[例1] 已知定点P?4，3?.

??

π??

(1)将极点移至O′?23，6?处，极轴方向不变，求P点的新坐标；

??π

(2)极点不变，将极轴顺时针转动6，求P点的新坐标．

[思路点拨] 本题考查极坐标系的建立及极坐标的求法．解答本题需要根据题意要求建立正确的极坐标系，然后求相应的点的极坐标．

[精解详析] (1)设P点新坐标为(ρ，θ)，如图所示， 由题意可知|OO′|＝23， |OP|＝4，

ππ

∠POx＝3，∠O′Ox＝6， π

∴∠POO′＝.

6

π

在△POO′中，ρ2＝42＋(23)2－2·4·23·cos6＝16＋12－24＝4，∴ρ＝2. 即|O′P|＝2.

∴|OP|2＝|OO′|2＋|O′P|2， π∠OO′P＝2.

极坐标系的概念 12

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π

∴∠OPO′＝3.

πππ

∴∠OP′P＝π－3－3＝3. 2π2π

∴∠PP′x＝3.∴∠PO′x′＝3. 2π??2，∴P点的新坐标为?. 3???(2)如图，设P点新坐标为(ρ，θ)， πππ

则ρ＝4，θ＝3＋6＝2. π??

∴P点的新坐标为?4，2?.

??

建立极坐标系的要素是：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向．四者缺一不可．极轴是以极点为端点的一条射线，它与极轴所在的直线是有区别的．极角θ的始边是极轴，它的终边随着θ的大小和正负而取得各个位置；θ的正方向通常取逆时针方向，θ的值一般是以弧度为单位的量数；点M的极径ρ表示点M与极点O的距离|OM|，因此ρ≥0；但必要时，允许ρ＜0.

π??

1．在极坐标系中，点A的极坐标是?3，6?，则

??(1)点A关于极轴的对称点是________；

(2)点A关于极点的对称点的极坐标是________；

π

(3)点A关于直线θ＝2的对称点的极坐标是________．(规定ρ>0，θ∈[0,2π)) 解析：如图所示，在对称的过程中极径的长度始终没有变化，主要在于极角的变化．另外，我们要注意：极角是以x轴正向为始边，按照逆时针方向得到的．

11π?7π?5π????

3，3，3，答案：(1)? (2)? (3)? 6?6?6???????

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[例2] 以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系． 5π??4，?(1)已知点A的极坐标为，求它的直角坐标； 3???

(2)已知点B和点C的直角坐标为(2，－2)和(0，－15)，求它们的极坐标．(ρ＞0,0≤θ＜2π)

[思路点拨] 本题考查极坐标和直角坐标的互化．解答此题只需将已知条件代入相关公式即可．

5π

[精解详析] (1)∵x＝ρcos θ＝4·cos3＝2， 5π

y＝ρsin θ＝4sin3＝－23， ∴A点的直角坐标为(2，－23)． (2)∵ρ＝x2＋y2＝22＋?－2?2＝22， －2

tan θ＝2＝－1，且点B位于第四象限内， 7π?7π?

∴θ＝4.∴点B的极坐标为?22，4?.

??又∵x＝0，y＜0，ρ＝15， 3π??

15，∴点C的极坐标为?. 2???

(1)将极坐标(ρ，θ)化为直角坐标(x，y)的公式是：x＝ρcos θ，y＝ρsin θ. y

(2)将直角坐标(x，y)化为极坐标(ρ，θ)的公式是：ρ2＝x2＋y2，tan θ＝(x≠0)．在

x利用此公式时要注意ρ和θ的取值范围．

π?2π??3???3，－2，－?????，2．(1)已知点的极坐标分别为A?，B，C，－π4?3????2?π??

D?4，－2?，求它们的直角坐标； ??

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点的极坐标和直角坐标的互化 2017-2018学年高中数学人教B版选修4-4同步教学案

?5?

(2)已知点的直角坐标分别为A(3，－3)，B?0，?，C(－2,23)，求它们

3??的极坐标，其中极角θ∈[0,2π)．

?3232?

?，B(－1，－3)，解：(1)根据x＝ρcos θ，y＝ρsin θ得A?，－

2??2?3?

C?－，0?，D(0，－4)． ?2?

11π?2π?y?5π???

23，4，(2)根据ρ＝x＋y，tan θ＝x得A?，B?，?，C?. 6?3??????32?

2

2

2

4π?5π?7π????

[例3] △ABC的顶点的极坐标为A?4，3?，B?6，6?，C?8，6?.

??????(1)判断△ABC的形状； (2)求△ABC的面积； (3)求△ABC的边AB上的高．

[思路点拨] 本题考查极坐标与直角坐标的互化、极坐标系中两点间的距离公式．解答此题可直接利用极坐标系中两点间的距离公式求解，也可以先将极坐标化为直角坐标，然后利用两点间的距离公式求解．

4π5ππ7π5ππ4π7π

[精解详析] ∠AOB＝3－6＝2，∠BOC＝6－6＝3，∠COA＝3－6＝π

6.(O为极点)

(1)∵|AB|＝|OA|2＋|OB|2＝42＋62＝213. |BC|＝|OB|2＋|OC|2－2|OB|·|OC|cos∠BOC ＝213，

|AC|＝|OA|2＋|OC|2－2|OA|·|OC|cos∠AOC ＝45－23.

∴△ABC是等腰三角形． 1

(2)S△AOB＝2|OA|·|OB|＝12，

极坐标系中两点间的距离 15