2017-2018学年人教B版高中数学选修4-4全册同步教学案

2017-2018学年高中数学人教B版选修4-4同步教学案

|CE|＝

|2ah|

， a2＋h2∴|BD|＝|CE|，即BD＝CE.

(1)建立适当的直角坐标系，将平面(立体)几何问题转化为解析几何问题，即“形”转化为“数”，再回到“形”中，此为坐标法的基本思想．

(2)建立坐标系时，要充分利用图形的几何特征．例如，中心对称图形，可利用它的对称中心为坐标原点；轴对称图形，可利用它的对称轴为坐标轴；题设中有三条两两垂直的直线，可考虑以三条直线为坐标轴建立空间直角坐标系等．

2．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是A1B1，BD的中点．求E，F两点间的距离．

解：如图，以D为空间坐标原点，建立空间直角坐标系，则A1(1,0,1)，B1(1,1,1)，B(1,1,0)，

111

∴E(1，2，1)，F(2，2，0)． ∴|EF|＝1115?1－2?2＋?2－2?2＋?1－0?2＝2，

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即E，F两点间的距离为2.

?X＝3x，

[例3] 在同一坐标系下经过伸缩变换?后，圆x2＋y2＝1变成了什

?Y＝2y么曲线？

[思路点拨] 将伸缩变换中的x，y分别用X，Y表示，代入已知的曲线方程，

平面上的伸缩变换

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即可得到所求曲线的方程，再由方程判断曲线的类型．

?X＝3x，

[精解详析] ∵?∴?1?Y＝2y，

y＝??2Y，代入圆的方程x2＋y2＝1， ?1?2?1?2

有?3X?＋?2Y?＝1， ????X2Y2

∴9＋4＝1.

?X＝3x，

∴经过伸缩变换?后，

?Y＝2yX2Y2

圆x＋y＝1变成了椭圆9＋4＝1.

2

2

1??x＝3X，

?X＝ax?a>0?，

利用坐标伸缩变换?求变换后的曲线方程，其实质是从中求出

?Y＝by?b>0?，1x＝??aX，?1??y＝bY，

然后将其代入已知的曲线方程求得关于X，Y的曲线方程．

3．在同一直角坐标系中，将直线2x－y＝3变成直线2X－6Y＝9，求满足图形变换的伸缩变换．

?X＝λx?λ>0?，

解：设伸缩变换为?

Y＝μy?μ>0?，?将其代入2X－6Y＝9，得2λx－6μy＝9， λ＝3，??

与2x－y＝3进行比较，得?1

μ＝?2.?X＝3x，??

故伸缩变换为?1

Y＝?2y.?

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[对应学生用书P3]

一、选择题

1．在同一坐标系中，将曲线y＝3sin 2x变为曲线Y＝sin X的伸缩变换是( ) x＝2X??A.?1y＝Y??3

X＝2x??

B.?1Y＝?3y?

?x＝2X

C.? ?y＝3Y

?X＝2xD.? ?Y＝3y

?X＝λx?λ>0?，

解析：选B 设?将其代入Y＝sin X，

?Y＝μy?μ>0?，1

得μy＝sin λx，即y＝μsin λx. 1

比较y＝3sin 2x与y＝μsin λx， 11

可得μ＝3，λ＝2，∴μ＝3，λ＝2. X＝2x，??∴?1

Y＝?3y.?

2．已知平面上两定点A，B，且A(－1,0)，B(1,0)，动点P与两定点连线的斜率之积为－1，则动点P的轨迹是( )

A．直线 C．椭圆的一部分

B．圆的一部分 D．双曲线的一部分

解析：选B 设点P的坐标为(x，y)， 因为kPA·kPB＝－1， 所以

yy

·＝－1， x＋1x－1

整理得x2＋y2＝1(x≠±1)．

故动点P的轨迹是圆除去点(1,0)，(－1,0)的部分． 3．将一个圆作伸缩变换后所得到的图形不可能是( ) A．椭圆

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B．比原来大的圆

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C．比原来小的圆 D．双曲线

解析：选D 由伸缩变换的意义可得．

4．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)．如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所围成的图形的面积等于( )

A．π C．8π

B．4π D．9π

解析：选B 设P点的坐标为(x，y)，∵|PA|＝2|PB|， ∴(x＋2)2＋y2＝4[(x－1)2＋y2]． 即(x－2)2＋y2＝4.

故P点的轨迹是以(2,0)为圆心，以2为半径的圆， 它的面积为4π. 二、填空题

5．△ABC中，B(－2,0)，C(2,0)，△ABC的周长为10，则点A的轨迹方程为__________________．

解析：∵△ABC的周长为10， ∴|AB|＋|AC|＋|BC|＝10，其中|BC|＝4， 则有|AB|＋|AC|＝6>4，

∴点A的轨迹为椭圆除去与B，C共线的两点，且2a＝6,2c＝4， ∴a＝3，c＝2，b2＝5，

x2y2

∴点A的轨迹方程为9＋5＝1(y≠0)． x2y2

答案：9＋5＝1(y≠0)

6．将对数曲线y＝log3x的横坐标伸长到原来的2倍得到的曲线方程为________．

解析：设P(x，y)为对数曲线y＝log3x上任意一点，变换后的对应点为P′(X，?X＝2x，Y)．由题意知伸缩变换为?

Y＝y，?

1??x＝X，

∴?2??y＝Y.

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