2006-2010年江苏省专转本高数真题集参考答案

2006年—2010年江苏省专转本真题参考答案

31、 计算limx?1x?1x?1

解：原式?limx?0(3x?1)(3x2?3x?1)(x?1)(x?1)(x?1)(3x2?3x?1)?limx?0(x?1)(x?1)(x?1)(3x2?3x?1)?2 32、 已知limx?0f(2x)1?2,则limxf()?x??x2x(1)

2解：设x?1，则当x→0时，u→∞，代入已知极限得： 4u22111)?4limuf()?2,解得limuf()? 即limxf()?u??u??x??4u4u2u22xu??lim4uf(1

23、 求极限lim(x??x?23x) xx2?2?(?6)解：原式?lim(1?)?e?6

x??xx34、求极限lim

x?0x?sinxx33x26x?lim?lim?6 解：limx?0x?sinxx?01?cosxx?0sinxx2?ax?b?3,则常数a,b的值为( ) 5、已知limx?2x?2A、a=-1,b=-2 B、a=-2,b=0 C、a=-1,b=0 D、a=-2,b=-1

x2?ax?b解：lim(x?ax?b)?4?2a?b?0,b??4?2a,lim

x?2x?2x?22x2?ax?4?2a(x2?4)?(ax?2a)?lim?lim?lim(x?2?a)?4?a?3 x?2x?2x?2x?2x?2A=-1,b=-2 6、设lim(x??xx)?2，常数c= 。 x?cx?c?c?ccxxcxc)?lim(1?)?lim(1?)解：lim(x??x?cx??x??x?cx?c7、计算lim(x???ec?2,c?ln2

x?1x) x?1x?1x2x2解：lim()?lim(1?)?lim(1?)x??x?1x??x??x?1x?1n

x?1?2?12?e2

8、设当x→0时，函数f(x)=x-sinx与g(x)=a是等价无穷小，则常数a,n的值为（ ） A.a?1111,n?3B.a?,n?3C.a?,n?4D.a?,n?4 63126x?sinx1?cosxx21?lim?lim,n?1?2,2na?1,a?,n?3 解：limnn?1n?1x?0x?0x?06axnax2naxx2?3x?29、设f(x)?，则x=2是f(x)的（ ）

x2?4A、跳跃型间断点 B、可去间断点 C、无穷型间断点 D、振荡型间断点

x2?3x?2x?11?lim? 解：lim2x?2x?2x?24x?410、 若limf(x)?A,且f(x)在x=x0处有定义，则当A= f(x0) 时f(x)在x0处连续。

x?0解：要使f(x)在x0处连续，必有limf(x)?f(x0)，而f(x)在x=x0处有定义，即f(x0)存

x?x0在，故只要A= f(x0)时，f(x)在x0处就连续。

1?x?11、 设函数f(x)=?(1?kx)??2x?0在点x=0处连续，求常数k.

x?01?kkx解：limf(x)?lim(1?kx)?lim(1?kx)x?0x?0x?01x?ek?f(0)?2

所以，k=ln2

x2?112、 函数f(x)?的第一类间断点是 x=1 x(x?1)x2?1解：x=0,x=1是f(x)的间断点，limf(x)?lim??

x?0x?0x(x?1)x2?1 limf(x)?lim?2

x?1x?0x(x?1)?a?xx?0?13、 函数f(x)=?tan3x在x=0处连续，则a = 3 .

x?0??x 2

f(x)?lim(a?x)?a,解： lim??x?0x?0x?0limf(x)?lim??x?0tan3x?3,xf(0)?a,a?3

14、设f(x)在[0,2a]上连续，且f(0)=f(2a)≠f(a),证明在[0,a]上至少存在一点ξ,使

f(ξ)=f(ξ+a). 证：令φ(x）=f(x)-f(x+a),则φ(x）在[0,a]上连续，且φ(0）=f(0)-f(a),

φ(a）=f(a)-f(2a)= f(a)-f(0)

(1) (2)

若f(0)-f(a)=0,则可取ξ=0或ξ=a;

f(0)-f(a)≠0,则显然φ(0）与φ(a）异号，由零值定理可知，至少存在一点ξ∈（0，a）,使φ(ξ）=0,即f(ξ)=f(ξ+a)

2

dy,15、 设y=f(x)由参数方程x=ln(1+t) , y = t-arctant确定，求dxd2y 2dxdy1t2解：?1??,22dt1?t1?tdx2t?,2dt1?tdydydttt1??,dy??d()?dt dxdx222dt1dtdydy?1?t22 ???2t4tdx2dxdt21?t2dy16、 设函数y=y(x)由方程e?e?xy确定，求

dxxyd2yx?0,dx2x?0

解：两端对x求导得：e?e?y??y?xy?

xydyex?y?y??y 所以，又当x=0时y=0 dxe?x 故

dydxx?0?1

d2y(ex?y?)(ey?x)?(ex?y)(eyy??1)/ ，用x=0,y=0及y(0)=1代得： ?2y2dx(e?x)d2ydx2??2

x?0 17、 函数f(x)是可导函数，下列各式中正确的是（ A ）

3

A、limx?0f(x0?2x)?f(x0)f(0)?f(x)??f?(0) B、lim?f?(x0)

x?0xxf(x0??x)?f(x0??x)?f?(x0)

?x?0?xf(x0??x)?f(x0??x)?2f?(x0) 在[0,x]区间上 D、lim?x?0?xC、limdy, 18、 函数y=y(x)由方程x=t-sint,y=1-cost所确定，求dxd2y dx2 解：

dy?sint,dtdx?1?cost,dtdytt2sincosdydtsint22?cott???tdxdx1?cost22sin2dt2

t1t)??csc2dt 22212t?cscdt2dydy?122 ????dx(1?cost)dt2dx2 dy??d(cot1ttsin22sin222?1??1t4sin42

x?0?0?19、设函数f(x)???在x=0处可导，则常数α的取值范围是（ ） 1xsinx?0?x? A、0<α<1 B、0<α≤1 C、α>1 D、α≥1

x?sin解：f?(0)?limx?011?0sinx?lim1??x，当1-α<0,极限存，故α>1

x?0xx?0?x?ln(1?t)dyd2y,2 20、设函数y=y(x)由参数方程?确定，求2dxdx?y?t?2t?32(y?)?4(1?t)1dyyt?2dy,??2(1?t),2?x??4(1?t)2 解：yt??2t?2,xt??11?tdxxt?xt?dx1?t??(x)?21、设f(x)??x??1/

x?0x?0其中φ(x)在x=0处具有二阶连续导数，且φ(0)=0，

φ(0)=1，证明：函数f(x)在x=0处连续且可导。 证：连续性：?limf(x)?limx?0x?0?(x)x?limx?0?(x)??(0)x?0???(0)?1,f(0)?1

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