2016新课标三维人教A版数学选修4-3 模块综合检测

对应学生用书P53

(时间：90分钟，总分120分)

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1

1．等式12＋22＋32＋?＋n2＝(5n2－7n＋4)( )

2A．n为任何正整数时都成立 B．仅当n＝1,2,3时成立

C．当n＝4时成立，n＝5时不成立 D．仅当n＝4时不成立

解析：分别用n＝1,2,3,4,5验证即可． 答案：B

1111

2．用数学归纳法证明不等式1＋3＋3＋?＋3<2－(n≥2，n∈N＋)时，第一步应验证

23nn不等式( )

11

A．1＋3<2－

2211

C．1＋3<2－ 23

111

B．1＋3＋3<2－

233111

D．1＋3＋3<2－

234

11

解析：第一步验证n＝2时不等式成立，即1＋3<2－.

22答案：A

3．用数学归纳法证明1＋a＋a＋?＋a所得的项为( )

A．1 C．1＋a＋a2

B．1＋a D．1＋a＋a2＋a3

2

n＋1

1－an2＝(a≠1)，在验证n＝1时，左端计算

1－a

＋

解析：左端为n＋2项和，n＝1时应为三项和， 即1＋a＋a2. 答案：C

4．用数学归纳法证明2n>n2(n∈N＋，n≥5)成立时，第二步归纳假设的正确写法是( ) A．假设n＝k时命题成立 B．假设n＝k(k∈N＋)时命题成立 C．假设n＝k(k≥5)时命题成立

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D．假设n＝k(k>5)时命题成立 解析：k应满足k≥5，C正确． 答案：C

5．用数学归纳法证明：“(n＋1)(n＋2)?(n＋n)＝2n·1·3?(2n－1)(n∈N＋)”时，从“n＝k到n＝k＋1”两边同乘以一个代数式，它是( )

A．2k＋2 2k＋2C. k＋1解析：n＝k时，

左边为f(k)＝(k＋1)(k＋2)?(k＋k) n＝k＋1时，f(k＋1)＝(k＋2)(k＋3) ?(k＋k)(k＋k＋1)(k＋k＋2) ＝f(k)·(2k＋1)(2k＋2)÷(k＋1) ?2k＋1??2k＋2?＝f(k) · k－1答案：D

6．平面内原有k条直线，它们的交点个数记为f(k)，则增加一条直线l后，它们的交点个数最多为( )

A．f(k)＋1 C．f(k)＋k＋1

B．f(k)＋k D．k·f(k) B．(2k＋1)(2k＋2) ?2k＋1??2k＋2? D.

k＋1

解析：第k＋1条直线与前k条直线都相交且有不同交点时，交点个数最多，此时应比原先增加k个交点．

答案：B

7．用数学归纳法证明34n1＋52n1(n∈N＋)能被8整除时，若n＝k时，命题成立，欲证

＋

＋

当n＝k＋1时命题成立，对于34(k

＋

＋

＋1)＋1

＋52(k

＋1)＋1

可变形为( )

A．56×34k1＋25(34k1＋52k1)

＋

B．34×34k1＋52×52k

＋

C．34k1＋52k1

＋

＋

D．25(34k1＋52k1)

＋

＋

解析：由34(k

＋

＋1)＋1

＋52(k

＋

＋1)＋1

＝81×34k1＋25×52k1＋25×34k1－25×34k1

＋

＋

＋

＋

＝56×34k1＋25(34k1＋52k1)．

＋

答案：A

8．数列{an}的前n项和Sn＝n2·an(n≥2)，而a1＝1，通过计算a2，a3，a4，猜想an等于( ) 4A. ?n＋1?2 B.

2

n?n＋1?

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1C.n 2－1

D.

1 2n－1

12

解析：由a2＝S2－S1＝4a2－1得a2＝＝ 32×3112

由a3＝S3－S2＝9a3－4a2得a3＝a2＝＝.

263×4

3122

由a4＝S4－S3＝16a4－9a3得a4＝a3＝＝，猜想an＝.

5104×5n?n＋1?答案：B

9．上一个n层的台阶，若每次可上一层或两层，设所有不同上法的总数为f(n)，则下列猜想正确的是( )

A．f(n)＝n

B．f(n)＝f(n－1)＋f(n－2) C．f(n)＝f(n－1)·f(n－2)

??n?n＝1，2?

D．f(n)＝?

?f?n－1?＋f?n－2??n≥3??

解析：当n≥3时f(n)分两类，第一类从第n－1层再上一层，有f(n－1)种方法；第二类从第n－2层再一次上两层，有f(n－2)种方法，所以f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)(n≥3)．

答案：D

10．已知f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”，那么，下列命题总成立的是( )

A．若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立 B．若f(4)≥16成立，则当k≥4时，均有f(k)

解析：∵f(k)≥k2成立时f(k＋1)≥(k＋1)2成立，当k＝4时，f(4)＝25>16＝42成立． ∴当k≥4时，有f(k)≥k2成立． 答案：D

二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上) n4＋n2

11．用数学归纳法证明1＋2＋3＋4＋?＋n＝(n∈N＋)，则n＝k＋1时，左端应为

2

2

在n＝k时的基础上加上____________________．

解析：n＝k＋1时，左端＝1＋2＋3＋?＋k2＋(k2＋1)＋?＋(k＋1)2. 所以增加了(k2＋1)＋?＋(k＋1)2. 答案：(k2＋1)＋?＋(k＋1)2

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1??1?1

1＋1＋??1＋12．设f(n)＝?)?n＋1n＋n，用数学归纳法证明f(n)≥3，在假设n＝k时?n?????

成立后，f(k＋1)与f(k)的关系是f(k＋1)＝f(k)·________________.

1??1?1

1＋1＋??1＋解析：f(k)＝??k＋1k＋k， ?k?

????

111

f(k＋1)＝?1＋k＋1??1＋k＋2???1＋k＋k?

??????

?1＋1?·?1＋1? ?k＋k＋1??k＋k＋2?

?1＋1??1＋1?k ∴f(k＋1)＝f(k)·

?2k＋1??2k＋2?k＋1

11k

答案：?1＋2k＋1??1＋2k＋2?????k＋1 13．设数列{an}满足a1＝2，an＋1＝2an＋2，用数学归纳法证明an＝4·2n1－2的第二步中，

－

设n＝k时结论成立，即ak＝4·2k1－2，那么当n＝k＋1时，应证明等式________成立．

－

答案：ak＋1＝4·2(k

＋1)－1

－2

14．在数列{an}中，a1＝1，且Sn，Sn＋1,2S1成等差数列，则S2，S3，S4分别为__________，猜想Sn＝__________.

解析：因为Sn，Sn＋1,2S1成等差数列． 所以2Sn＋1＝Sn＋2S1，又S1＝a1＝1.

2

32－1

所以2S2＝S1＋2S1＝3S1＝3，于是S2＝＝，

223

3772－1

2S3＝S2＋2S1＝＋2＝，于是S3＝＝2，

2242

2n－1

由此猜想Sn＝n－1.

2

n

37152－1答案：，， n－1 2482

三、解答题(本大题共4个小题，满分50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

111

15．(本小题满分12分)用数学归纳法证明，对于n∈N＋，都有＋＋＋?＋

1×22×33×41n

＝. n?n＋1?n＋1

111

证明：(1)当n＝1时，左边＝＝，右边＝，所以等式成立．

21×22(2)假设n＝k时等式成立，即

1111k

＋＋＋?＋＝， 1×22×33×4k?k＋1?k＋1

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