第1章行列式自测题（答案）

内容提要：

一、行列式的定义

1、2阶和3阶行列式

D?a11a21a31a11a21a12a22a32a12a22a13?a11a22?a12a21

a23?a11a22a33?a13a21a32?a12a23a31 a33?a13a22a31?a12a21a33?a11a23a32

2、排列与逆序

定义 由1,2,3,?,n组成的一个有序数组称为一个n阶排列． 3、n阶行列式定义

a11a21定义 称D??an1a12a22?an2?a1n?a2n??annp1p2?pn?(p1p2?pn)(?1)a1p1a2p2?anpn ? ?det(aij)

为n阶行列式，记作D或Dn．也记作det(aij)．

4、三角形行列式：主对角线元素的乘积。

二、行列式的性质 性质1 D??D．

性质2 互换行列式的某两行（或列），行列式仅变符号． 推论 若行列式中某两行（或列）相同，则行列式为零．

性质3 行列式某行（列）的各元素乘以k，等于用数k乘以行列式．

推论 行列式的某行（或列）各元素的公因子可以提到行列式符号外面相乘． 推论 若行列式的某两行（或列）的对应成元素成比例，则行列式为零．

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a11a12?a1na11a12?a1na11a12???a1n?????????性质4 ?i1??i1?i2??i2??in??in??i1?i2??in??i1?an1?an2??ann?an1???an1an2?ann?i2??in

an2?ann性质5 将行列式的某行（或列）各元素乘以数k加到另一行（或列）的对应元素上,行列式的值不变．

三、行列式的展开定理

定义 在Dn中划掉aij所在的行和列（即第i行和第j列），余下的元素按原来的相对位置构成一个（n?1）阶行列式，称为aij的余子式，记作Mij．

Aij?(?1)i?jMij ——aij的代数余子式

定理1 D?ai1Ai1?ai2Ai2???ainAin （i?1,2,?,n） ?按第i行展开 或 D?a1iA1i?a2iA2i???aniAni （i?1,2,?,n） ?按第i列展开 推论 ai1Aj1?ai2Aj2???ainAjn?0 （i?j） 或 a1iA1j?a2iA2j???aniAnj?0 （i?j） 四、Cramer规则

?a11x1?a12x2???a1nxn?b1?ax?ax???ax?b?2112222nn2 （1） ??????????an1x1?an2x2???annxn?bn定理 当D?0时，方程组（1）有唯一解

x1?

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DD1D，x2?2，……，xn?n． DDD推论 齐次线性方程组

?a11x1?a12x2???a1nxn?0?ax?ax???ax?0?2112222nn ??????????an1x1?an2x2???annxn?0(x1?0,x2?0,……，xn?0显然是方程组的解，称为零解)

1）D?0?仅有零解． 2）有非零解?D?0．

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《线性代数》单元自测题答案

第一章 行列式

一、填空题：

1．设a1ia23a35a44a5j是五阶行列式中带有负号的项，则i=________；j=_________。 分析 i?1,j?2或者i?2,j?1。

当i?1,j?2时，(?1)?(13542)a11a23a35a44a52?(?1)4a11a23a35a44a52?a11a23a35a44a52 。 当i?2,j?1时，(?1)?(23541)a12a23a35a44a51?(?1)5a12a23a35a44a51??a12a23a35a44a51。 2． 在四阶行列式中，带正号且包含因子a23和a31的项为_____ __。 分析 同时包含a23和a31的项有

(?1)?(2314)a12a23a31a44?(?1)2a12a23a31a44?a12a23a31a44。

和 (?1)?(4312)a14a23a31a42?(?1)5a14a23a31a42??a14a23a31a42。 作业：第6页，习题1.1，

2．写出四阶行列式

a11a21a31a41a12a22a32a42a13a23a33a43a14a24a34a44中同时包含a12和a31的项。

解 (?1)?(2314)a12a23a31a44?(?1)2a12a23a31a44?a12a23a31a44和

(?1)?(2413)a12a24a31a43?(?1)3a12a24a31a43??a12a24a31a43。

3． 在五阶行列式中，项a12a31a54a43a25的符号应取_______ ___。 分析 a12a31a54a43a25?a12a25a31a43a54，所以，(?1)?(25134)?(?1)4?1。

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