2021高考数学(江苏专用)一轮复习学案：第八章 8.5 圆与圆的位置关系及圆的应用 (含解析)

(1)若圆形标志物半径为25 m，以PG所在直线为x轴，G为坐标原点，建立直角坐标系，求圆C和直线PF的方程；

31

(2)若在点P处观测该圆形标志的最大视角(即∠APF)的正切值为，求该圆形标志物的半径．

49解 (1)建系后，圆C的方程为x2＋(y－25)2＝252. 设直线PF的方程为y＝k(x＋50)(k>0)，

|－25＋50k|

因为直线PF与圆C相切，所以＝25，

1＋k24

解得k＝(k＝0舍去)．

3

4

所以直线PF的方程为y＝(x＋50)，即4x－3y＋200＝0.

3(2)以PG所在直线为x轴，G为坐标原点建立直角坐标系，

设直线PF的方程为y＝k(x＋50)(k>0)，圆C的方程为x2＋(y－r)2＝r2(r>0)． π

由已知得直线PE的倾斜角为. 4

k－131

因为tan∠APF＝tan(∠GPF－∠GPA)＝＝，

1＋k4940

所以k＝，

9

40

所以直线PF的方程为y＝(x＋50)，

9即40x－9y＋2 000＝0.

|－9r＋2 000|

因为直线PF与圆C相切，所以＝r，

1 600＋81解得r＝40或－62.5(舍)．

故该圆形标志物的半径为40 m.

思维升华 (1)利用两圆位置关系求参数的关键是抓住两圆圆心距和两圆半径和r1±r2的关系． (2)日常生活中和圆有关的物体以及可转化为和圆有关的位置关系问题求解时可建立坐标系，利用圆的方程或直线与圆、圆与圆的位置关系解决．

跟踪训练3 (2014·江苏)如图，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC与河岸AB垂直，保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80 m．经测量，点A位于4点O正北方向60 m处，点C位于点O正东方向170 m处(OC为河岸)，tan∠BCO＝. 3

(1)求新桥BC的长；

(2)当OM多长时，圆形保护区的面积最大？

解 (1)如图，过点B作BE⊥OC于点E，过点A作AF⊥BE于点F.

∵∠ABC＝90°，∠BEC＝90°，

∴∠ABF＝∠BCE， 4

∴tan∠ABF＝tan∠BCO＝.

3设AF＝4x(m)，则BF＝3x(m)， ∵∠AOE＝∠AFE＝∠OEF＝90°， ∴OE＝AF＝4x(m)，EF＝AO＝60(m)， ∴BE＝(3x＋60)m. 4∵tan∠BCO＝，

3

93?∴CE＝BE＝??4x＋45? m， 49

4x＋x＋45? m， ∴OC＝?4??9

∴4x＋x＋45＝170，解得x＝20.

4∴BE＝120 m，CE＝90 m. 综上所述，BC＝150 m.

(2)如图，设BC与⊙M切于点Q，延长QM，CO交于点P，

∵∠POM＝∠PQC＝90°. ∴∠PMO＝∠BCO.

4

设OM＝x m，则OP＝x m，

35PM＝x m.

3

416

x＋170?m，PQ＝?x＋136?m. ∴PC＝??3??15?设⊙M的半径为R，

1653

x＋136－x?＝?136－x?m， ∴R＝MQ＝?3??5??15∵A，O到⊙M上任一点的距离不少于80 m，

?R－OM≥80，?

则? ?R－AM≥80，?

?即?3

136－?5x－?60－x?≥80.

解得10≤x≤35.

3

136－x－x≥80，

5

当且仅当x＝10时R取到最大值． ∴当OM＝10 m时，保护区面积最大， 综上所述，当OM＝10 m时，保护区面积最大．