2021高考数学(江苏专用)一轮复习学案：第八章 8.5 圆与圆的位置关系及圆的应用 (含解析)

两圆位置关系的判定

例1 (2020·南京模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知圆M：(x－a)2＋(y＋a－3)2＝1(a>0)，点N为圆M上任意一点．若以N为圆心、ON为半径的圆与圆M至多有一个公共点，则a的最小值为________． 答案 3

解析 由题意，得圆N与圆M内切或内含， 即MN≤ON－1?ON≥2， 又ON的最小值为OM－1，

所以OM≥3，a2＋?a－3?2≥3?a≥3或a≤0(舍)， 因此a的最小值为3.

思维升华 判断圆与圆的位置关系时，一般用几何法，其步骤为 (1)确定两圆的圆心坐标和半径长．

(2)利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d，求r1＋r2，|r1－r2|.

(3)比较d，r1＋r2，|r1－r2|的大小，写出结论．

跟踪训练1 (1)圆C1：(x＋2)2＋(y－2)2＝4和圆C2：(x－2)2＋(y－5)2＝16的位置关系是( ) A．外离 B．相交 C．内切 D．外切 答案 B

解析 易得圆C1的圆心为C1(－2,2)，半径r1＝2，圆C2的圆心为C2(2,5)，半径r2＝4，圆心距|C1C2|＝[2－?－2?]2＋?5－2?2＝5<2＋4＝r1＋r2且5>r2－r1，所以两圆相交． (2)圆x2＋y2＋4x－4y＋7＝0与圆x2＋y2－4x＋10y＋13＝0的公切线有________条． 答案 4

解析 两圆的标准方程分别为(x＋2)2＋(y－2)2＝1， (x－2)2＋(y＋5)2＝16.

两圆圆心分别为(－2,2)，(2，－5)．

两圆的圆心距d＝?－2－2?2＋?2＋5?2＝65，半径分别为r1＝1，r2＝4，则d>r1＋r2，即两圆外离，因此它们有4条公切线．

两圆的公共弦问题

例2 已知圆C：x2＋y2－10x－10y＝0与圆M：x2＋y2＋6x＋2y－40＝0相交于A，B两点． (1)求圆C与圆M的公共弦所在直线的方程； (2)求AB的长．

解 (1)直线AB的方程为x2＋y2－10x－10y－(x2＋y2＋6x＋2y－40)＝0，即4x＋3y－10＝0. (2)由题意知，圆C的标准方程为(x－5)2＋(y－5)2＝50，

|4×5＋3×5－10|

因为C(5,5)，所以圆C到直线AB的距离为d＝＝5，圆C的半径r＝52，

5所以AB＝2r2－d2＝10.

思维升华 当两圆相交时，从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程就是两圆的公共弦所在直线的方程．

跟踪训练2 (1)圆C1：x2＋y2－2x－8＝0与圆C2：x2＋y2＋2x－4y－4＝0的公共弦长为________． 答案 27

解析 由圆C1与圆C2的公共弦所在的直线l的方程为x－y＋1＝0，得圆心C1(1,0)到直线l|1－0＋1|2的距离为d＝22＝2，圆C1的半径为r1＝3，所以圆C1与圆C2的公共弦长为2r21－d

1＋1＝232－?2?2＝27.

(2)已知圆C1：x2＋y2－6x－6＝0，圆C2：x2＋y2－4y－6＝0，请判断两圆的位置关系，并说明两圆是否存在公共弦．若存在，求出公共弦所在直线的方程，若不存在，请说明理由． 解 圆C1：x2＋y2－6x－6＝0，

即(x－3)2＋y2＝15，圆心坐标为(3,0)，半径r1＝15； 圆C2：x2＋y2－4y－6＝0，

即x2＋(y－2)2＝10，圆心坐标为(0,2)，半径r2＝10. ∵C1C2＝?3－0?2＋?0－2?2＝13 ∈(15－10，15＋10)，

∴圆C1与圆C2相交，两圆存在公共弦． 由圆C1：x2＋y2－6x－6＝0，① 圆C2：x2＋y2－4y－6＝0，② ①－②得－6x＋4y＝0，即3x－2y＝0. ∴两圆公共弦所在直线的方程为3x－2y＝0.

圆的应用

命题点1 利用两圆位置关系求参数

例3 (1)如果圆C：x2＋y2－2ax－2ay＋2a2－4＝0与圆O：x2＋y2＝4总相交，那么实数a的取值范围是______________________． 答案 (－22，0)∪(0,22)

解析 圆C的标准方程为(x－a)2＋(y－a)2＝4，圆心坐标为(a，a)，半径为2. 依题意得0

(2)已知圆C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝4与圆C2：(x＋b)2＋(y＋2)2＝1外切，则ab的最大值为________． 9答案 4

解析 由圆C1与圆C2外切，

可得?a＋b?2＋?－2＋2?2＝2＋1＝3，即(a＋b)2＝9，根据基本不等式可知ab≤?9

当且仅当a＝b时等号成立，ab的最大值为. 4

a＋b?29?2?＝4，若将本例(2)中的“外切”变为“内切”，求

ab的最大值．

解 由C1与C2内切得?a＋b?2＋?－2＋2?2＝1. 即(a＋b)2＝1，又ab≤?

a＋b?211

＝，当且仅当a＝b时等号成立，故ab的最大值为.

4?2?4

命题点2 圆的实际应用

例4 (2019·江苏如东高级中学期中)如图，地面上有一竖直放置的圆形标志物，圆心为C，与地面的接触点为G.与圆形标志物在同一平面内的地面上点P处有一个观测点，且PG＝ 50 m．在观测点正前方10 m处(即PD＝10 m)有一个高为10 m(即ED＝10 m)的广告牌遮住了视线，因此在观测点所能看到的圆形标志的最大部分即为图中从A到F的圆弧．