江苏省苏锡常镇四市2019届高三第二次模拟考试数学试卷（含答案）

2019届高三年级第二次模拟考试(十一) 数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)

21. 【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

A. [选修4－2：矩阵与变换](本小题满分10分)

?1??x 1?属于特征值－1的一个特征向量，求矩阵A的另一个

已知x，y∈R，α＝??是矩阵A＝??

?2??0 y?

特征值．

B. [选修4－4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)

π

θ－?＝0，在直角坐标系(原点与极点重合，x轴的正方向为在极坐标系中，已知直线l：ρsin??3??

极轴的正方向)中，曲线C的参数方程为?1

x＝t－?4t

1y＝t＋，

4t

(t为参数)．设直线l与曲线C交于A，B两点，

求AB的长．

C. [选修4－5：不等式选讲](本小题满分10分)

若不等式|x＋1|＋|x－a|≥5对任意的x∈R恒成立，求实数a的取值范围．

【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

22. (本小题满分10分)

从批量较大的产品中随机取出10件产品进行质量检测，若这批产品的不合格率为0.05，随机变量X表示这10件产品中的不合格产品的件数．

(1) 问：这10件产品中“恰好有2件不合格的概率P(X＝2)”和“恰好有3件不合格的概率P(X＝3)”哪个大？请说明理由；

(2) 求随机变量X的数学期望E(X)．

23. (本小题满分10分)

23CnC2C4CnC4C5C62n4C682n468

已知f(n)＝3＋4＋5＋…＋n＋1，g(n)＝3＋4＋5＋…＋n＋1，其中n∈N*，n≥2.

C6C8C10C6C8C10C2n＋2C2n＋2

＋

(1) 求f(2)，f(3)，g(2)，g(3)的值；

(2) 记h(n)＝f(n)－g(n)，求证：对任意的m∈N*，m≥2，总有 .

2019届高三年级第二次模拟考试(十一)(苏锡常镇)

数学参考答案

13

1．{0} 2.－4 3. (1，0) 4. 5.40 6.－

22700172

7.log23 8. 9.2π 10.3 11.

1275012.?－

?

933?

13.－ 14. (1，＋∞) ，433?

15. (1) 在三棱锥D－ABC中，因为E为DC的中点，F为DB的中点，所以EF∥BC.(3分)

因为BC平面ABC，EF平面ABC， 所以EF∥平面ABC.(6分)

(2) 因为AC⊥BC，AC⊥DC，BC∩DC＝C， 所以AC⊥平面BCD.(8分)

因为BD平面BCD，所以AC⊥BD.(10分) 因为DC＝BC，E为BD的中点， 所以CE⊥BD.(12分)

因为AC∩CE＝C，所以BD⊥平面ACE.(14分) 16. (1) 设向量a与b的夹角为θ. 因为|a|＝2，

|b|＝（cosα－sinα）2＋（cosα－sinα）2＝2，(4分)

a·b

所以cosθ＝ |a|·|b|＝

（2cosα，2sinα）·（cosα－sinα，cosα＋sinα）

222cos2α＋2sin2α2＝＝.(7分)

222

π

因为0≤θ≤π，所以向量a与b的夹角为.(9分)

4

(2) 若(λb－a)⊥a，则(λb－a)·a＝0， 即λb·a－a2＝0.(12分) 因为b·a＝2，a2＝4，所以2λ－4＝0，解得λ＝2.(14分)

17. (1) 以路AB所在的直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系，(1分) 则点A(－20，0)，B(20，0)，P(0，40)．(2分) 因为曲线段APB为抛物线的一段弧，

所以可以设抛物线的解析式为y＝a(x－20)·(x＋20)， 将点P(0，40)代入，得40＝－400a， 1

解得a＝－，(4分)

10所以抛物线的解析式为y＝

1

(400－x2)．(5分) 10

因为点C在抛物线上，

1

所以n＝(400－m2)，0

10(2) 设等腰梯形ABCD的面积为S， 11

则S＝×(2m＋40)××(400－m2)，(8分)

2101

S＝(－m3－20m2＋400m＋8000)．(9分)

10

11

因为S′＝(－3m2－40m＋400)＝－(3m－20)(m＋20)，(10分)

101020

令S′＝0，得m＝，(11分)

3

当m变化时，S′，S的变化情况如下表：

(13分)

2025600

所以当m＝时，等腰梯形ABCD的面积最大，最大值为平方米．(14分)

327c3

18. (1) 设椭圆的半焦距为c，由已知得＝，

a2a23

则－c＝，c2＝a2－b2，(3分) c3解得a＝2，b＝1，c＝3，(5分) x22

所以椭圆E的标准方程是＋y＝1.(6分)

4

22(2) 由题意，设直线l1的方程为y＝k1(x－t)，代入椭圆E的方程中，并化简得(1＋4k21)x－8k1tx

2

＋4k21t－4＝0.(8分)

设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，

2t2－44k18k21t

则x1＋x2＝，x1x2＝.

1＋4k21＋4k211

(10分)

所以

2)|x－t||x－t|＝(1＋k2)|t2－(x＋x)t＋xx|＝(1＋k2)|t2－PA·PB＝(1＋k112112121

224k28k21t－41t

＋|＝1＋4k21＋4k211

2（1＋k21）|t－4|

，(12分)

1＋4k21

2

（1＋k22）|t－4|

同理PC·PD＝，(14分)

1＋4k22