2018年四川省成都市中考数学试卷解析版

取PQ中点G，由∠PCQ=90°， ∴CG=

1PQ. 2当CG最小时，PQ最小，

∴CG⊥PQ，即CG与CB重合时，CG最小. ∴CG最小值=3，PQ最小值=23. ∴S?PCQ的最小值=

1×3×23=3. 2∴S四边形PA′B′Q的最小值=3?3.

28. （2018·成都，28，12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，以直线x=

5为对称轴的抛物线2y=ax2+bx+c与直线l：y=kx+m(k>0)交于A(1，1)，B两点，与y轴交于C(0，5)，直线l与y轴交于D点.

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）设直线l与抛物线的对称轴的交点为F，G是抛物线上位于对称轴右侧的一点，若且△BCG与△BCD面积相等，求点G的坐标；

（3）若在x轴上有且仅有一点P，使∠APB=90°，求k的值.

AF3?，FB4

备用题

28.思路分析：(1)由对称轴公式、点A，B的坐标，用待定系数法求解即可；(2) 作AM⊥x轴，BN⊥x轴，垂足分别为M，N，先求点B的坐标，再求的直线l的表达式，进而求得点D坐标和直线BC的表达式. 根据△BCG与△BCD面积相等，点G分在BC下方或BC上方两种情况讨论；(3)由点A(1，1)，可得k+m=1，于是得yl?kx?1?k，可求得点B的坐标.根据圆周角的性质，点P是以AB为直径的圆与x轴的交点，且P为切点，求得点P的坐标，再利用△AMP∽△PNB，得到关于k的一元二次方程，进而求得k的值.

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?b5??2a?2,?解：（1）由题意，得?c?5,解得a=1，b=－5，c=5.

?a?b?c?1.??∴抛物线的函数表达式y=x2－5x+5.

（2）如图，作AM⊥x轴，BN⊥x轴，垂足分别为M，N，则

AFMQ3??. FBQN4∵MQ=

3?911?，∴NQ=2，B?,?. 2?24?1?91?24??分别代入y=kx+m，得 ?把点A（1，1），B?,1?k?，?k?m?1，???2 ?911解得?k?m?.?m?1.?4?2?2?11x+. 221∴D(0，).

2∴yl=

同理，yBC=－

1x+5 2点G分在BC下方或BC上方两种情况讨论.

①当点G1在BC下方时（如图所示），∵S△BCD?S△BCG1，

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∴DG1∥BC，可得yDG1=－∴－

11x?. 22113x?= x2－5x+5，即2x2－9x+9=0，∴x1?,x2?3.

2225x?，∴x=3，∴G(3，－1).

2②当点G2在BC上方时（如图所示），∵S△BCD?S△BCG2， ∴直线D1G2与DG1关于BC对称，可得yD1G2=－∴－

119x?. 22119x?= x2－5x+5，∴2x2－9x－9=0. 229?3175，∴x?.

42∵x>

?9?31767?317??. ∴G2?，??48??综上所述，点G坐标为(3，－1)或?（3）由题意可得k+m=1，. ∴m=1－k，∴yl=kx+1－k.

∴kx+1－k = x2－5x+5，即x2－(k+5)x+k+4=0.. ∴x1=1，x2=k+4，∴B(k+4，k2+3k+1). 设AB的中点为O′，

∵P点有且只有一个，∴以AB为直径的圆与x轴只有一个交点，且P为切点. ∴OP⊥x轴，∴P为MN的中点，∴P?∵△AMP∽△PNB，∴?9?31767?317??. ，??48???k?5?,0?.

?2?AMPN，∴AM??BN=PN?PM， ?PMBNk?5?k?5?1)， ?(2?2∴1×(k2+3k+1)=?k?4???即3k2+6k－5=0，Δ=96>0. ∵k>0，∴k=

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?6?4626?3?. 63