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逻辑代数基础例题解析

例9．1 已知逻辑函数F的真值表如表9.1所示，试写出F的逻辑函数式。

解 逻辑函数F的表达式可以写成最小项之和的形式。将真值表中所有F＝1的最小项(变量取值为1的用原变量表示，取值为0的用反变量表示)选出来，最后将这些最小项加起来，得到函数F的表达式为：

表9.1

F?ABC?ABC?ABC?ABC?ABC例9．2 列出逻辑函数F?AB?BC的真值表。

解 从表达式列真值表的规则是先将表达式写成最小项之和的形式，即：

表9.2

F?AB?BC?AB(C?C)?BC(A?A）?ABC?ABC?ABC?ABC?ABC?ABC?ABC然后填入对应的真值中，如表9.2所示。

例9.3 用代数法化将下列逻辑表达式化成最简的“与或”表达式。

（1）F?AB?BD?DCE?DA

（2）F?ABCD?ABD?BCD?ABC?BD?BC

解 用代数法化简任意逻辑函数，应综合利用基本公式和以下几个常用公式：

A?AB?A——AB项多余； A?AB?A?B——非因子A多余；

AB?AC?BC?AB?AC——第3项BC多余；

AB?AB?A———互补并项；

根据式A?A?A可添加重复项，或利用式A?A?1可将某些项乘以(A?A)， 进而拆为两项——即配项法。用代数法对本例逻辑表达式化简：

(1)F?AB?BD?DCE?DA?AB?D(B?A)?DCE?AB?DAB?DCE?AB?D?DCE?AB?D(2)F?ABCD?ABD?BCD?ABC?BD?BC?ABC(D?1)?BD(A?1)?BCD?BC?ABC?BD?BCD?BC?B(AC?C)?B(D?CD)?B(A?C)?B(D?C)?B(A?C?C?D)?B例9．4 写出以下逻辑函数的反函数并化成最简“与或”形式。 （1） F?AB?C

（2） F?(A?B)(A?C)AC?BC

解 （1）根据反演定律：对于任意一个逻辑函数F，如果把其中所有的“．”换成“+”，“+”换成“．”，0换成1，1换成0，原变量换成反变量，反变量换成原变量，得到的结果就是F。

（1）F?AB?C

则 F?(A?B)C?AC?BC （2）F?(A?B)(A?C)AC?BC 则

F?(AB?AC?(A?C))(B?C)?(AB?AC?(A?C))?(B?C)?

((A?B)(A?C)?A?C)?(B?C)? (A?AC?BC?C)(B?C)?(A?C?B?C)(B?C)?B?C例9．5 试用卡诺图化简法将以下逻辑函数化简成最简“或与”式及最简“或非或非式”。

F?(AC?BD)B

解 利用卡诺图化简逻辑函数时，在函数的卡诺图中，可合并相邻的1格得出原函数的最简与或式；也可合并相邻的0格得出反函数的最简与或式，然后再利用反演规则求反，即可得出原函数的最简或与式。经逻辑变换后可得出函数的最简或非或非式。

给定逻辑函数式的卡诺图如图9．1所示。圈0得出反函数的最简与或式为：

F?BD?ABC

将上式求反即可得出逻辑函数的最简或与式为：

F?BD?ABC?(B?D)(A?B?C)

经逻辑变换后（利用非非律），函数的最简或非或非式为

F?(B?D)(A?B?C)?(B?D)?(A?B?C)

例9．6 将逻辑函数F?AB?CD转换成最小项之和（标准与或式）的形式。 解 (1) 用配项法

F?AB?CD?AB(C?C)(D?D)?CD(A?A)(B?B)?ABCD?ABCD?ABCD?ABCD?ABCD?ABCD?ABCD

(2) 用卡诺图法

画4变量卡诺图，由于函数F由AB和CD两项组成，即A＝l且B＝l时F＝1，故在A＝l且B＝1的行内填1；类似地，在C＝0且D＝0的列内填1，即得函数的卡诺图如图9．2所示。然后由卡诺图可直接写出逻辑函数的最小项之和形式：

F(A,B,C,D)??m(0,4,8,12,13,14,15)

例9．7 将逻辑函数F?AB?CD成最大项之积（标准或与式）的形式。 解 用公式法

由式例9．6得出逻辑函数的最小项之和形式为：

F(A,B,C,D)??m(0,4,8,12,13,14,15)

因为

F(A,B,C,D)??mi??Mj

ij?i 所以最大项之积：

F(A,B,C,D)??M(1,2,3,5,6,7,9,10,11)

即

F?(A?B?C?D)?(A?B?C?D)?(A?B?C?D)(A?B?C?D)?(A?B?C?D)?(A?B?C?D)(A?B?C?D)?(A?B?C?D)?(A?B?C?D)如果已知函数的卡诺图，也可由卡诺图中为0的那些小方格直接写出标准或与式。 例9．8 化简具有约束条件的逻辑函数F?ABC?BC，其约束条件为AB＝0。 解 用公式化对具有约束条件的逻辑函数的化简时，可以将约束项加到逻辑表达式中，化简后到的最简表达式中若含有约束项，再将约束项去掉。即：

F?ABC?BC?AB?C(AB?B)?AB? C(A?B)?AB?

CAB?AB?C?AB?C(去掉约束项）例9．9 化简下列函数F(A,B,C,D)??m(1,3,5,7,9)??d(10,11,12,13,14,15)

解 用卡诺图法化简带有约束条件的逻辑函数，其方法是在卡诺图中，将函数F的最

小顶用1填入，约束顶用×填入。在画卡诺圈时，可充分利用约束项取值的任意性(作为1或0)合并相邻项。将最小项及约束项填入对应的卡诺图中，如 图9.3所示，则化简后逻辑表达式为：

F＝D

例9．10 化简具有约束条件的逻辑函数

F(A,B,C,D)??m(0,2,3,5,6,7,8,9)

AB?AC?0（约束条件）

解：采用卡诺图法化简。由约束条件，求出约束项：

AB?AC?AB(C?C)(D?D)?AC(B?B)(D?D)??ABCD?ABCD?ABCD?ABCD?ABCD?ABCD?ABCD?ABCD?

?m(10,11,12,13,14,15)ii