（完整版）相似三角形性质与判定专项练习30题（有答案）

（2）①过点E作EH⊥BF于点H，

∵△ABC是等边三角形，△ABD∽△CED，AB=6，AD=2CD， ∴

=

=，∠A=∠ACB=60°，

∴CE=3， ∵AB∥CE，

∴∠A=∠DCE=60°，

∴∠ECH=180°﹣∠ACB﹣∠DCE=180°﹣60°﹣60°=60°， ∴EH=CE?sin60°=3×

=

；

②在Rt△ECH中， ∵∠ECH=60°，CE=3， ∴CH=CE?cos60°=3×=， ∴BH=BC+CH=6+=

，

∴BE===3．

28．（1）解：∵AC=AC′，AB=AB′， ∴

由旋转可知：∠CAB=∠C′AB′，

∴∠CAB+∠EAC′=∠C′AB′+∠EAC′，即∠CAC′=∠BAB′， 又∵∠ACB=∠AC′B′=90°， ∴△ACC′∽△ABB′， ∵AC=3，AB=4， ∴

=

=；

（2）证明：∵Rt△AB′C′是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的，∴AC=AC′，AB=AB′，∠CAB=∠C′AB′，（1分） ∴∠CAC′=∠BAB′，

∴∠ABB′=∠AB′B=∠ACC′=∠AC′C， ∴∠ACC′=∠ABB′，（3分） 又∵∠AEC=∠FEB， ∴△ACE∽△FBE．（4分）

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（3）解：当β=2α时，△ACE≌△FBE．理由： 在△ACC′中， ∵AC=AC′， ∴∠ACC′=∠AC′C=

=

=

=90°﹣α，（6分）

在Rt△ABC中，

∠ACC′+∠BCE=90°， 即90°﹣α+∠BCE=90°， ∴∠BCE=90°﹣90°+α=α， ∵∠ABC=α，

∴∠ABC=∠BCE，（8分） ∴CE=BE，

由（2）知：△ACE∽△FBE， ∴△ACE≌△FBE．（9分）

29．证明：（1）∵△ABC是等边三角形，∠DAE=120°， ∴∠DAB+∠CAE=60°，

∵∠ABC是△ABD的外角， ∴∠DAB+∠D=∠ABC=60°， ∴∠CAE=∠D，

∵∠ABC=∠ACB=60°， ∴∠ABD=∠ACE=120°， ∴△ABD∽△ECA；

（2）∵△ABD∽△ECA， ∴

=

，即AB?AC=BD?CE，

∵AB=AC=BC， ∴BC2=BD?CE 30．

（1）证明：∵AC=CD=DE=EB=，

又∠C=90°， ∴AD=2， ∴

=，==，

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∴=，

又∵∠ADE=∠BDA， ∴△ADE∽△BDA；

（2）证明：∵△ADE∽△BDA， ∴∠DAE=∠B，

又∵∠ADC=∠AEC+∠DAE， ∴∠ADC=∠AEC+∠B；

（3）解：∵点P为线段AB上一动点， 根据勾股定理得：AE==

，BE=

，

∴PE的最大值为．

作EF⊥AB，则EF=，则PE的最小值为

∴

≤EP≤

，

∵EP为整数，即EP=1，2，3， 结合图形可知PE=1时有两个点， 所以PE长为整数的点P个数为4个．

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