（完整版）相似三角形性质与判定专项练习30题（有答案）

∵∠BCE=∠ECF+∠1，∠2=∠B+∠1； ∴∠BCE=∠2， ∵∠A=∠B，

∴△ACF∽△BEC． ∴

，

∴AC?BC=BE?AF，

∴S△ABC=AC?BC=BE?AF， ∴AF?BE=2S．

7．（1）①证明：∵△ABC为等边三角形， ∴AB=AC，∠C=∠CAB=60°， 又∵AE=CF，

在△ABE和△CAF中，

，

∴△ABE≌△CAF（SAS）， ∴AF=BE，∠ABE=∠CAF．

又∵∠APE=∠BPF=∠ABP+∠BAP， ∴∠APE=∠BAP+∠CAF=60°． ∴∠APB=180°﹣∠APE=120°．

②∵∠C=∠APE=60°，∠PAE=∠CAF，∴△APE∽△ACF， ∴

，即

，所以AP?AF=12

（2）若AF=BE，有AE=BF或AE=CF两种情况．

①当AE=CF时，点P的路径是一段弧，由题目不难看出当E为AC的中点的时候，点P经过弧AB的中点，此时△ABP为等腰三角形，且∠ABP=∠BAP=30°， ∴∠AOB=120°， 又∵AB=6， ∴OA=

，

．

点P的路径是

②当AE=BF时，点P的路径就是过点C向AB作的垂线段的长度；因为等边三角形ABC的边长为6，所以点P的路径为：

所以，点P经过的路径长为

．

或3

．

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8．证明：∵AD，BE是钝角△ABC的边BC，AC上的高， ∴∠D=∠E=90°， ∵∠ACD=∠BCE， ∴△ACD∽△BCE， ∴

=

．

9．证明：（1）∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB， ∵DE∥BC，

∴∠ABC+∠BDE=180°，∠ACB+∠CED=180°． ∴∠BDE=∠CED， ∵∠EDF=∠ABE， ∴△DEF∽△BDE；

（2）由△DEF∽△BDE，得

．

∴DE2=DB?EF，

由△DEF∽△BDE，得∠BED=∠DFE． ∵∠GDE=∠EDF， ∴△GDE∽△EDF． ∴

，

∴DE2=DG?DF，

∴DG?DF=DB?EF．

10．解：设EC=x，CH=y，则BE=2﹣x， ∵△ABC、△DEF都是等边三角形， ∴∠B=∠DEF=60°，

∵∠B+∠BDE=∠DEF+∠HEC， ∴∠BDE=∠HEC， ∴△BED∽△CHE， ∴

，

∵AB=BC=2，点D为AB的中点， ∴BD=1， ∴

，

即：y=﹣x2+2x=﹣（x﹣1）2+1．

∴当x=1时，y最大．此时，E在BC中点

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11．解：∵∠A=∠C，∠AOD=∠BOC， ∴△OAD∽△OCB， ∴

=

，

∴OA?OB=OC?OD． 12．解：（1）猜测BE和直线AC垂直． 证明：∵△AEC是等边三角形， ∴AE=CE，

∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=CB， ∵BE=BE，

∴△AEB≌△CEB（SSS）． ∴∠AEB=∠CEB， ∵AE=CE， ∴BE⊥AC；

（2）∵△AEC是等边三角形， ∴∠EAC=∠AEC=60°， ∵BE⊥AC，

∴∠BEA=∠AEC=30°，

∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAC=45°， ∴∠BAE=15°， ∴∠EBF=45°， ∵EF⊥BF， ∴∠F=90°，

∴∠EBF=∠BAC，∠F=∠ABC， ∴△BEF∽△ACB，

延长EB交AC于G，设AC为2a，则BG=a，EB=a﹣a，∴相似比是：

=

=

=

13．证明：（1）∵BC2=BD?BA， ∴BD：BC=BC：BA， ∵∠B是公共角， ∴△BCD∽△BAC， ∴∠BCD=∠A， ∵CD平分∠ECB， ∴∠ECD=∠BCD，

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∴∠ECD=∠A， ∵∠EDC=∠CDA， ∴△CED∽△ACD；

（2）∵△BCD∽△BAC，△CED∽△ACD， ∴=

，=

，

∴

．

14．证明：（1）∵∠DBG=∠EBC，∠BGD=∠C， ∴△BDG∽△BEC， ∴

=

，

则BD?BC=BG?BE；

（2）∵∠DBA=∠ABC，∠BAD=∠C， ∴△DBA∽△ABC， ∴

=

，即AB2=BD?BC，

∵BD?BC=BG?BE， ∴AB2=BG?BE，即

=

，

∵∠GBA=∠ABE， ∴△GBA∽△ABE， ∴∠BGA=∠BAC． 15．解：（1）∵在△ABC中，点D是BC中点，点E是AC中点，且AD⊥BC，BE⊥AC，∴AC=AB=BC，

∴△ABC是等边三角形， ∴∠C=60°， ∵BF∥AC，

∴∠CBF=∠C=60°， ∵AD⊥BC， ∴∠FDB=90°， ∴∠F=30°， ∵DF=6，

∴BD=2，

∵AE=EC=BD=DC， ∴AE=2；

（2）∵∠BDF=90°，∠F=30°，BD=2，

∴BF=2DB=4， ∵AC∥BF，

∴△AEG∽△FBG， ∴

=（）2=．

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