[优化方案]2020高中数学 第2章2.1.1知能优化训练 湘教版选修1-1.doc

1．(2011年福州高三质检)已知F1，F2是椭圆＋＝1的两焦点，过点F2的直线交椭圆于A，

169

B两点．在△AF1B中，若有两边之和是10，则第三边的长度为( ) A．6 B．5 C．4 D．3

解析：选A.根据椭圆定义，知△AF1B的周长为4a＝16，故所求的第三边的长度为16－10＝6. 2．已知F1，F2为两定点，|F1F2|＝4，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝4，则动点M的轨迹是( ) A．椭圆 B．直线 C．圆 D．线段

解析：选D.虽然动点M到两定点F1，F2的距离之和为常数4，由于这个常数等于|F1F2|，故动点M的轨迹是线段F1F2.

3．已知椭圆＋＝1，长轴在y轴上，若焦距为4，则m等于( )

10－mm－2

A．4 B．5 C．7 D．8

x2

y2

x2y2

?4?2

解析：选D.由题意，得m－2>10－m>0，于是6

?2?

22

4．已知椭圆ax＋by＋ab＝0(a

x2y2

解析：由ax＋by＋ab＝0，得＋＝1，因为a－b>0.所以椭圆的焦点在

－b－ay轴上，c2＝－a＋b，c＝±b－a，故焦点坐标为(0，±b－a)． 答案：(0，±b－a)

2

2

一、选择题

1．已知椭圆的焦点为(－1,0)和(1,0)，点P(2,0)在椭圆上，则椭圆的方程为( ) A.＋＝1 43

x2y2y2x2

B.＋y＝1 4

x2y2

2

C.＋＝1 D.＋x＝1 434

222

解析：选A.c＝1，a＝2，∴b＝a－c＝3. ∴椭圆的方程为＋＝1.

43

2．椭圆＋＝1的焦点为F1、F2，AB是椭圆过焦点F1的弦，则△ABF2的周长是( )

925

A．20 B．12 C．10 D．6 解析：选A.∵AB过F1，

??|BF1|＋|BF2|＝2a，

∴由椭圆定义知?

?|AF1|＋|AF2|＝2a，?

∴|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝4a＝20.

2

x2y2

x2y2

3．椭圆＋y＝1上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点的距离为( )

25

A．5 B．6 C．7 D．8

解析：选D.设到另一焦点的距离为x，则x＋2＝10，x＝8.

x2

2

x2y2

4．已知椭圆2＋＝1的一个焦点为(2,0)，则椭圆的方程是( )

a2

22xyx2y2

A.＋＝1 42

2

B.＋＝1 32

C．x＋＝1 D.＋＝1

262

22

解析：选D.由题意知a－2＝4，∴a＝6.

∴所求椭圆的方程为＋＝1.

62

22

5．焦点在坐标轴上，且a＝13，c＝12的椭圆的标准方程为( ) A.＋＝1 1312C.＋y＝1 13

2

2

2

y2x2y2

x2y2

x2x2

y2

2

B.＋＝1或＋＝1 13252513D.＋y＝1或x＋＝1 1313

x2x2

y2

2

x2

2

y2

y2

解析：选D.b＝a－c＝1，分焦点在x轴上或y轴上两种情况，故答案有2个，即＋y＝1

13或x＋＝1，且这两个椭圆的形状完全相同．

13

6．椭圆的两焦点为F1(－4,0)、F2(4,0)，点P在椭圆上，若△PF1F2的面积最大为12，则椭圆方程为( ) A.＋＝1 169C.＋＝1 2516

2

x2

2

y2

x2x2

y2

B.＋＝1 259D.＋＝1 254

x2x2

y2y2

y2

1

解析：选B.S△PF1F2＝×8b＝12，∴b＝3，

2

222

又∵c＝4，∴a＝b＋c＝25，

∴椭圆的标准方程为＋＝1.

259

二、填空题

7．椭圆的焦点在y轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为215，则此椭圆的标准方程为________．

解析：∵2a＝8，∴a＝4，

2

∵2c＝215，∴c＝15，∴b＝1. 即椭圆的标准方程为＋x＝1.

16答案：＋x＝1

16

8．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC顶点A(－4,0)和C(4,0)，顶点B在椭圆＋＝1

259

sinA＋sinC上，则＝________.

sinBsinA＋sinC|BC|＋|AB|105

解析：由题意知，|AC|＝8，|AB|＋|BC|＝10.所以，＝＝＝. sinB|AC|84

5答案： 49．若方程＋＝1表示椭圆，则k的取值范围是________．

5－kk－3

x2y2

y2

2

y2

2

x2y2

x2y2

5－k>0，??

解析：由题意知?k－3>0，

??5－k≠k－3，

解得3

答案：3

三、解答题

228xy10．已知椭圆＋＝1上一点M的纵坐标为2.

8136

(1)求M的横坐标；

(2)求过M且与＋＝1共焦点的椭圆的方程．

94

2228xy8x42

解：(1)把M的纵坐标代入＋＝1，得＋＝1，即x＝9.

81368136

∴x＝±3.即M的横坐标为3或－3.

x2y2

x2y2

(2)对于椭圆＋＝1，焦点在x轴上且c＝9－4＝5，故设所求椭圆的方程为2＋2＝

94aa－5

2

1(a>5)，

2

x2y2

942

把M点坐标代入得2＋2＝1，解得a＝15.

aa－5

故所求椭圆的方程为＋＝1.

1510

11．已知椭圆的中心在原点，两焦点F1，F2在x轴上，且过点A(－4,3)．若F1A⊥F2A，求椭圆的标准方程．

x2y2

x2y2

解：设所求椭圆的标准方程为2＋2＝1(a>b>0)．

ab设焦点F1(－c,0)，F2(c,0)．

→→

∵F1A⊥F2A，∴F1A·F2A＝0， →

而F1A＝(－4＋c,3)， →

F2A＝(－4－c,3)，

2

∴(－4＋c)·(－4－c)＋3＝0， 2

∴c＝25，即c＝5.

∴F1(－5,0)，F2(5,0)． ∴2a＝|AF1|＋|AF2|

22

＝ －4＋5＋3＋ －4－5＝10＋90＝410. ∴a＝210， 22222

∴b＝a－c＝(210)－5＝15. ∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.

4015

12．已知P是椭圆＋y＝1上的任意一点，F1，F2为椭圆的两焦点．

4

(1)求|PF1|·|PF2|的最大值；

22

(2)求|PF1|＋|PF2|的最小值； (3)求∠F1PF2的最大值． 解：

2

＋3

2

x2y2

x2

2

如图，由题意知，F1(－3，0)， F2(3，0)．

设|PF1|＝m，|PF2|＝n(m>0，n>0)， 由椭圆的定义，知m＋n＝4.

m＋n242

(1)根据基本不等式知mn≤()＝()＝4，当且仅当m＝n＝2时，等号成立，此时P位于

22

短轴的端点处．

所以|PF1|·|PF2|的最大值为4.

22

(2)因为m＋n≥2mn，

22222

所以2(m＋n)≥m＋n＋2mn＝(m＋n).

2422

故m＋n≥＝8，

2

当且仅当m＝n＝2时，等号成立．

22

|PF1|＋|PF2|的最小值是8，此时P位于短轴的端点处． (3)在△F1PF2中，根据余弦定理得

m2＋n2－12

cos∠F1PF2＝

2mnm＋n2－2mn－12＝ 2mn4－2mn2＝＝－1.

2mnmn21

根据(1)可知0

mn2

11

所以cos∠F1PF2≥－1＝－(m＝n时等号成立)．

22

因为f(x)＝cosx在区间(0，π)上是单调递减函数，

12π

所以当cos∠F1PF2取得最小值－时，∠F1PF2取得最大值.

23