高三函数检测试题(1)

(3)由－1≤x－c≤1，得－1＋c≤x≤1＋c， ∴P＝{x|－1＋c≤x≤1＋c}．

由－1≤x－c2≤1，得－1＋c2≤x≤1＋c2， ∴Q＝{x|－1＋c2≤x≤1＋c2}． ∵P∩Q＝?，

∴1＋c<－1＋c2或－1＋c>1＋c2， 解得c>2或c<－1.

∴c的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞)．

(理)(2011·吉林省实验中学模拟、湖北荆门市调研)设函数f(x)＝kax－a－x(a>0且a≠1)是定义域为R的奇函数．

(1)若f(1)>0，试求不等式f(x2＋2x)＋f(x－4)>0的解集； 3

(2)若f(1)＝2，且g(x)＝a2x＋a－2x－2mf(x)在[1，＋∞)上的最小值为－2，求m的值．

[解析] (1)∵f(x)是定义域为R的奇函数， ∴f(0)＝0，∴k－1＝0，∴k＝1， 故f(x)＝ax－a－x(a>0，且a≠1)

1

∵f(1)>0，∴a－a>0，又a>0且a≠1，∴a>1. lna?x1?

f′(x)＝alna＋ax＝?a＋ax?lna

??

x

∵a>1，∴lna>0， 1

而a＋ax>0，∴f′(x)>0

x

故f(x)在R上单调递增

原不等式化为：f(x2＋2x)>f(4－x) ∴x2＋2x>4－x，即x2＋3x－4>0

∴x>1或x<－4，

∴不等式的解集为{x|x>1或x<－4}．

313

(2)∵f(1)＝2，∴a－a＝2，即2a2－3a－2＝0， 1

∴a＝2或a＝－2(舍去)．

∴g(x)＝22x＋2－2x－2m(2x－2－x)＝(2x－2－x)2－2m(2x－2－x)＋2. 令t＝f(x)＝2x－2－x，

由(1)可知f(x)＝2x－2－x为增函数 3

∵x≥1，∴t≥f(1)＝2，

3

令h(t)＝t2－2mt＋2＝(t－m)2＋2－m2 (t≥2) 3

若m≥2，当t＝m时，h(t)min＝2－m2＝－2，∴m＝2 3317

若m<2，当t＝2时，h(t)min＝4－3m＝－2， 253

解得m＝12>2，舍去 综上可知m＝2.

三、解答题(本大题共5个小题，共60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

?2?16. (本小题满分12分)设函数f(x)?lg??1?的定义域为集合A，函数

?x?1?B. g(x)??x2?2x?a(0?x?3,a?R的值域为集合)（Ⅰ）求f(11)?f(?)的值； 20132013（Ⅱ）若A?B??，求实数a的取值范围.

1?x?2?解：（1） f(x)?lg? ?1??lgx?1?x?1?由

1?x?0得?1?x?1 ?函数f(x)的定义域为A???1,1? x?11?(?x)x?11?x?lg??lg??f(x)? f(x)为奇函数。 又f(?x)?lg(?x)?11?xx?1?f(11)?f(?)=0 20132013（2）函数g(x)??x2?2x?a=?(x?1)2?1?a在[0,3]上

gmin(x)?g(3)?a?3,gmax(x)?g(1)?a?1

?B?[a?3,a?1]A?B???a?3?1或a?1??1解得a??2或a?4 ?实数a的取值范围为：(??,?2][4,??)

17．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2x＋k·2－x，k∈R. (1)若函数f(x)为奇函数，求实数k的值；

(2)若对任意的x∈[0，＋∞)都有f(x)＞2－x成立，求实数k的取值范围． 【解】 (1)∵f(x)＝2x＋k·2－x是奇函数， ∴f(－x)＝－f(x)，x∈R，

即2－x＋k·2x＝－(2x＋k·2－x)，∴(1＋k)＋(k＋1)·22x＝0对一切x∈R恒成立，∴k＝－1.

(2)∵x∈[0，＋∞)，均有f(x)＞2－x，

即2x＋k·2－x＞2－x成立，∴1－k＜22x对x≥0恒成立， ∴1－k＜(22x)min，∵y＝22x在[0，＋∞)上单调递增， ∴(22x)min＝1，∴k＞0.∴实数k的取值范围是(0，＋∞)． 18．(本小题满分12分)设L为曲线C：y＝(1)求L的方程；

(2)证明：除切点(1,0)之外，曲线C在直线L的下方． 【解】 (1)设f(x)＝

ln xln xx在点(1,0)处的切线．

x，则f′(x)＝

1－ln xx2

.

所以f′(1)＝1，所以L的方程为y＝x－1.

(2)证明：令g(x)＝x－1－f(x)，则除切点之外，曲线C在直线L的下方等价于g(x)>0(?x>0，x≠1)．

g(x)满足g(1)＝0，且

x2－1＋ln xg′(x)＝1－f′(x)＝. x2

当01时，x2－1>0，ln x>0，所以g′(x)>0，故g(x)单调递增． 所以，g(x)>g(1)＝0(?x>0，x≠1)． 所以除切点之外，曲线C在直线L的下方． 19．(本小题满分12分)

图2

1

已知函数f(x)＝ax3＋(a－2)x＋c的图象如图2所示．

3(1)求函数y＝f(x)的解析式； (2)若g(x)＝围．

【解】 (1)∵f′(x)＝ax2＋a－2，

由图可知函数f(x)的图象过点(0,3)，且f′(1)＝0. ?c＝3，得?

?2a－2＝0，

kfxx－2ln x在其定义域内为增函数，求实数k的取值范

?c＝3，即?

?a＝1.

1

∴f(x)＝x3－x＋3.

3

kf′xk(2)∵g(x)＝－2ln x＝kx－－2ln x，

xxk2kx2＋k－2x∴g′(x)＝k＋2－＝.

xxx2

∵函数y＝g(x)的定义域为(0，＋∞)，

∴若函数y＝g(x)在其定义域内为单调增函数，则函数g′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，即kx2＋k－2x≥0在区间(0，＋∞)上恒成立．

即k≥

2x在区间(0，＋∞)上恒成立． x＋1

2

令h(x)＝

2x，x∈(0，＋∞)， x＋1

2