高三函数检测试题(1)

(2)由(1)知，当x>c时，日盈利额为0. 当0

2?6－x?

2

3?9－4x??6－x?＋?9x－2x?

∴y′＝2· ?6－x?23?x－3??x－9?＝，

?6－x?2令y′＝0，得x＝3或x＝9(舍去)．

∴①当00，∴y在区间(0，c]上单调递增，∴y3?9c－2c2?

. 最大值＝f(c)＝

2?6－c?

②当3≤c<6时，在(0,3)上，y′>0，在(3，c)上y′<0， ∴y在(0,3)上单调递增，在(3，c)上单调递减． 9

∴y最大值＝f(3)＝2. 综上，若0

18．(本小题满分12分)(文)(2010·广东佛山顺德区质检)已知函数f(x)＝ex－k－x，(x∈R)

1(1)当k＝0时，若函数g(x)＝的定义域是R，求实数m的

f?x?＋m取值范围；

(2)试判断当k>1时，函数f(x)在(k,2k)内是否存在零点． [解析] (1)当k＝0时，f(x)＝ex－x，f ′(x)＝ex－1，

令f ′(x)＝0得，x＝0，当x<0时f ′(x)<0，当x>0时，f ′(x)>0， ∴f(x)在(－∞，0)上单调减，在[0，＋∞)上单调增．

∴f(x)min＝f(0)＝1，

∵对?x∈R，f(x)≥1，∴f(x)－1≥0恒成立， ∴欲使g(x)定义域为R，应有m>－1. ∴实数m的取值范围是(－1，＋∞)．

(2)当k>1时，f(x)＝ex－k－x，f ′(x)＝ex－k－1>0在(k,2k)上恒成立． ∴f(x)在(k,2k)上单调增． 又f(k)＝ek－k－k＝1－k<0，

f(2k)＝e2k－k－2k＝ek－2k，令h(k)＝ek－2k， ∵h′(k)＝ek－2>0，∴h(k)在k>1时单调增， ∴h(k)>e－2>0，即f(2k)>0，

∴由零点存在定理知，函数f(x)在(k,2k)内存在零点． (理)(2010·厦门三中阶段测试)已知f(x)＝lnx＋x2－bx. (1)若函数f(x)在其定义域内是增函数，求b的取值范围； (2)当b＝－1时，设g(x)＝f(x)－2x2，求证函数g(x)只有一个零点． [解析] (1)∵f(x)在(0，＋∞)上递增，

1

∴f ′(x)＝x＋2x－b≥0，对x∈(0，＋∞)恒成立， 1

即b≤x＋2x对x∈(0，＋∞)恒成立，

?1??∴只需b≤x＋2x?min (x>0)， ??

12

∵x>0，∴x＋2x≥22，当且仅当x＝2时取“＝”， ∴b≤22，

∴b的取值范围为(－∞，22]．

(2)当b＝－1时，g(x)＝f(x)－2x2＝lnx－x2＋x，其定义域是(0，＋∞)，

1

∴g′(x)＝x－2x＋1

2x2－x－1?x－1??2x＋1?＝－＝－， xx?2x＋1??x－1?令g′(x)＝0，即－＝0， x∵x>0，∴x＝1，

当00；当x>1时，g′(x)<0，

∴函数g(x)在区间(0,1)上单调递增，在区间(1，＋∞)上单调递减， ∴当x≠1时，g(x)

19．(本小题满分12分)(文)(2011·安徽滁州期末)已知关于x的二次函数f(x)＝ax2－4bx＋1.

(1)已知集合P＝{－1,1,2,3,4,5}，Q＝{－2，－1,1,2,3,4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数y＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数的概率；

x＋y－8≤0??(2)在区域?x>0

??y>0

内随机任取一点(a，b)．

求函数y＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数的概率． [解析] (1)∵a∈P，∴a≠0.

2b

∴函数f(x)＝ax2－4bx＋1的图象的对称轴为x＝a， 要使f(x)＝ax2－4bx＋1在区间[1，＋∞)上为增函数， 2b

当且仅当a>0且a≤1，即2b≤a. 若a＝1，则b＝－2，－1； 若a＝2，则b＝－2，－1,1；

若a＝3，则b＝－2，－1,1； 若a＝4，则b＝－2，－1,1,2； 若a＝5，则b＝－2，－1,1,2.

所求事件包含基本事件的个数是2＋3＋3＋4＋4＝16. 164

∴所求事件的概率为36＝9. (2)由条件知a>0，∴同(1)可知当且仅当2b≤a且a>0时， 函数f(x)＝ax2－4bx＋1在区间[1，＋∞)上为增函数， 依条件可知试验的全部结果所构成的区域 a＋b－8≤0????

??a，b?|?a>0

?b>0???阴影部分．

??

?，为△OAB，所求事件构成区域为如图??

??a＋b－8＝0?168?

由?得交点D?3，3?，

???a－2b＝0.?

182×8×31

∴所求事件的概率为P＝1＝3. 2×8×8

(理)(2011·高青一中月考)已知集合A＝{x|－1≤x≤0}，集合B＝{x|ax＋b·2x－1<0,0≤a≤2,1≤b≤3}．

(1)若a，b∈N，求A∩B≠?的概率； (2)若a，b∈R，求A∩B＝?的概率．