株洲市2015届高三第一次统测文科数学答案

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株洲市2015届高三年级教学质量统一检测

数学试题（文科）参考答案

命题人：赵家早（株洲县五中）王会能（北师大株洲附校）石文成（株洲市二中）

第Ⅰ卷（选择题）

一、选择题。本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合要求的．答案要写在答题卷上． 1.已知集合A?{0,1,3}，B?{x|y?ln(x?1)}，则AB?（ C ）

A．{0,1,3} B．{1,3} C．{3} D．? 2. 命题“?x?R，x2?x?2”的否定是（ B ） A．?x20?R，x?x?2

B．?x0?R，x2?x?2

C．?x?R，x2?x?2 D．?x?R，x2?x?2

3. 设数列{a2

n}是等比数列，函数y=x－x－2的两个零点是a2,a3，则a1a4 =（ D ）

A．2 B．1 C．－1 D．－2

4. 程序框图如图所示，若输入a的值是虚数单位i，则输出的 结果是（ A ） A．?1

B．i?1

C．0

D．?i

5. 已知条件p：k=3，条件q：直线y= kx+2与圆x2

+y2

=1相切， 则p是q的( A )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

6．下列函数中，与函数y＝－3|x|的奇偶性相同，且在(－∞，0)上 单调性也相同的是( C )

A．y＝－1

x B．y＝log2|x| C．y＝1－x2 D．y＝x3－1 7. 在长方体ABCD - A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为( D )

A．

63 B．2 61510

5 C．5 D．5

8. 已知三棱锥的正视图与俯视图如图所示，俯视图是边长 为2的正三角形，则该三棱锥的侧视图可能为( B )

株洲市2015届教学质量统一检测（一）数学试题（文） 第 1 页 共 8 页

9. 已知双曲线x2y2310a2?b2?1的一条渐近线的倾斜角的余弦值为10，该双曲线上过一个焦点

且垂直于实轴的弦长为233，则双曲线的离心率等于（ C ） A．10 B．3 C．103 D． 73 10. 在?ABC中，若角A、B、C所对的三边a、b、c成等差数列，给出下列结论：

①b2?ac；②b2?a2?c22；③1a?1c?2b；④0?B??3.其中正确的结论是（ D ）

A．①② B．②③ C．③④ D．①④

第Ⅱ卷（非选择题）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卷上． 11．直角坐标系xOy中，点A，B分别在曲线C:??x?3?cos?y?4?sin?（?为参数）上，则|AB|的最

?大值为 2 .

12．向量a?(1,tan?)，b?(cos?,1)，且a∥b，则?3cos(2??)??13.

13．记集合A?{(x,y)x2?y2?4}和集合B?{(x,y)|x?y?2?0,x?0,y?0}表示的平 面区域分别为Ω1，Ω2，若在区域Ω1内任取一点M(x，y)，则点M落在区域Ω12内的概率为2?. 14．如右图，在第一象限内，矩形ABCD的三个顶点A，B，C分别 1x在函数y=logx,y?x2,y???3?2?22??的图像上，且矩形的边分别

??平行两坐标轴，若A点的纵坐标是2，则D点的坐标是??19??2,16?? 株洲市2015届教学质量统一检测（一）数学试题（文） 第2页共8页

15．在边长为2的菱形ABCD中，?ABC??3，对角线AC与BD相交于O，点P是线段BD的一个三等分点，则AP?AC等于 2 .

三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本题满分12分）海关对同时从A、B、C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量（单位：件）如下表所示. 工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.

地区 A B C 数量 50 150 100 （Ｉ）求这6件样品中来自A、B、C各地区商品的数量；

（II）若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率.

解析：（Ⅰ）因为工作人员是按分层抽样抽取商品，所以各地区抽取商品比例为：

A:B:C?50:150:100?1:3:2 ???3分

所以各地区抽取商品数为：A:6?16?1，B:6?36?3，C:6?26?2； ??6分

（Ⅱ）设各地区商品分别为：A,B1,B2,B3,C1,C2 ???7分 6件样品中随机抽取2件的基本事件为：

?A,B1?,?A,B2?,?A,B3?,?A,C1?,?A,C2?,?B1,B2?,?B1,B3?

?B1,C1?,?B1,C2?,?B2,B3?,?B2,C1?,?B2,C2?,?B3,C1?,?B3,C2?,?C1,C2?，共15个.??9分

2件商品来自相同地区的基本事件为：?B1,B2?,?B1,B3?,?B2,B3?,?C1,C2??11分

记“这两件商品来自同一地区的事件”为A，则它的概率为：P?A??415. ??12分

17.（本题满分12分）

已知函数f(x)?23sinxcosx?2cos2x?1； （I）当x?[0,?2]时，求函数f(x)的最大值； （II）若f(?)?8?5(??[0,6])，求cos2?的值. 【解析】f(x)?23sinxcosx?2cos2x?1?3sin2x?2?1?2cos2x2?1 株洲市2015届教学质量统一检测（一）数学试题（文） 第 3 页 共 8 页 ?3sin2x?cos2x?2sin(2x??6). ????3分

(Ⅰ)因为x?[0,???2]，所以(2x?6)?[?6,5?6]，所以当x??3时，f(x)max?2.?7分 （Ⅱ）由f(?)?85，知sin(2???46)?5，

因为??[0,?????36]，所以(2??6)?[?6,2]，因此cos(2??6)?5，

所以cos2??cos[(2???)??]?cos(2???)cos????6666sin(2??6)sin6

?334133?45?2?5?2?10. ????12分

18.（本题满分12分）如图所示的多面体A1ADD1?BCC1中，底面ABCD为正方形，AA1//DD1//CC1，2AB?2AA1?CC1?DD1?4，且AA1?底面ABCD．

（Ⅰ）求证：A1B//平面CDD1C1；

（Ⅱ）求多面体A1ADD1?BCC1的体积V． 解：（Ⅰ）证明：

AA1//DD1,AA1?CDDC11

DD1?平面CDDC11,

AA1//平面CDD1C1 同理可得：AB//平面CDD1C1 ????3分 ?平面AA1B//平面CDD1C1 有

A1B?平面AA1B

因此：A1B//平面CDD1C1 ????5分 （Ⅱ）

AA1?平面ABCD?A1B?AB

又AD?AB AD?AA1?A ?BA?平面ADD1A1 ????7分

V?VBBC1?ADD1?VB?AA1D1

V?2?1BCC1?ADD1?BA·S?BCC12?BC?CC1?8

V14B?AAD1?3S?AAD1?AB?3

故所求几何体体积是：V18BBC1?ADD1?VB?AA1D1=3 ????12分

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19.（本题满分13分）已知数列{an}是各项均为正数的等差数列，其中a1?1，且a2、a4、6a?2成等比数列；数列{bn}的前n项和为Sn，满足2Sn?bn?1. （Ⅰ）求数列{an}、{bn}的通项公式；

（II）如果cn?anbn，设数列{cn}的前n项和为Tn，是否存在正整数n，使得Tn?Sn成立，若存在，求出n的最小值，若不存在，说明理由.

解析：（Ⅰ）设数列{a2n}的公差为d，依条件有a4?a2(a6?2)，

即(ad)2?(ad?2)，解得d??11?31?d)(a1?52（舍）或d?1，

所以an?a1?(n?1)d?1?(n?1)?n. ????2分

由2S1n?bn?1，得Sn?2(1?bn)， 当n?1时，2S11?b1?1，解得b1?3，

当n?2时，b?S1111n?Snn?1?2(1?bn)?2(1?bn?1)??2bn?2bn?1，

所以b1n?3bn?1，

所以数列{b11n}是首项为3，公比为3的等比数列，

故b1n?3n. ???5分

（2）由（1）知，cnn?anbn?3n，

所以T1?13?2?111n?32?3?33??n?3n ①

13T1111n?1?32?2?33?3?34??n?3n?1 ② 得T331n132n?3n?4?4?3n?2?3n?4?4?13n. ????9分 株洲市2015届教学质量统一检测（一）数学试题（文） 第 5 页 共 8 页 1(1?1又S?33n)?1?1n1?122?3n. 3所以T?12n?1n?Sn4?4?13n， 当n?1时，T1?S1， 当n?2时，

14?2n?14?13n?0，所以Tn?Sn， 故所求的正整数n存在，其最小值是2. ????13分

（本题满分13分）如图，点Fx2y220.1(?c,0)、F2(c,0)分别是椭圆C:a2?b2?1(a?b?0)的左、

右焦点，过点F1作x轴的垂线，交椭圆C的上半部分于点P，

Fx?a2过点2作PF2的垂线交直线c于点Q.

（Ⅰ）如果点Q的坐标为（4,4），求椭圆C的方程；

（II）试判断直线PQ与椭圆C的公共点个数，并证明你的结论.

?解析：解方程组?x??c2?2b?xy2，得P点的坐标为(?c,)?a2?b2?1a， b2?kPFab22ac， 2??c?c??PF?QF,?k2ac2ac22QF2?b2，?直线QF2的方程为y?b2(x?c)，

a2将x?a2c代入上式解得y?2a，?Q(c,2a). ????4分

?（1）因为Q点的坐标为(4,4)，所以?a2??c?4，解得??a?2?2a?4?c?1

株洲市2015届教学质量统一检测（一）数学试题（文） 第6页共8页

?b2?a2?c2?3，

椭圆C的方程为x24?y2?3?1. ????7分

（2）Q点的坐标为(a2c,2a)，P点的坐标为(?c,b2a)，

a?b22?k?ac(2a2?b2)cPQa2?a(a2?c2)?a，

c?(?c)?PQ的方程为y?2a?cca(x?a2c)，即y?ax?a， ????9分

将PQ的方程代入椭圆C的方程得b2x2?a2(cax?a)2?a2b2，

?(b2+c2)x2?2a2cx?a4?a2b2?0，而a2?b2?c2，

上式可化为a2x2?2a2cx?a2c2?0，解得x??c，

所以直线PQ与椭圆C只有一个公共点. ????13分 21.（本题满分13分）

已知函数f(x)?alnx?ax?3(a?R)

（Ⅰ）讨论函数f(x)的单调性；

（II）若函数y?f(x)的图象在点?2,f(2)?处的切线的倾斜角为45，对于任意的t?[1,2]，

函数g(x)?x3?x2???f?(x)?m?2??在区间?t,3?上总不是单调函数，求m的取值范围；

（Ⅲ）求证：

ln22?ln33?ln44??lnn1n?n(n?2,n?N*) 解析：（1）f/(x)?a(1?x)x(x?0)， 当a?0时，f(x)的单调递增区间为(0,1]，单调递减区间为[1,??)；

株洲市2015届教学质量统一检测（一）数学试题（文） 第 7 页 共 8 页 当a?0时，f(x)不是单调函数；

当a?0时，f(x)的单调递增区间为[1,??)，单调递减区间为(0,1] ??4分 （2）由f/(2)??a2?1，得a??2， f(x)??2lnx?2x?3，

所以g(x)?x3?(m2?2)x2?2x， 所以g/(x)?3x2?(m?4)x?2，

因为g(x)在区间(t,3)上总不是单调函数，且g/(0)??2，所以?g/(t)?0g/(3)?0，

由题意知，对于任意的t?[1,2]，g/(t)?0恒成立，

?所以??g/(1)?037?m??9， ??g/(2)?0，解得?g/(3)?03故实数m的取值范围是(?373,?9) ??9分 （3）令a??1，所以f(x)??lnx?x?3， 所以f(1)??2， 由（1）知f(x)??lnx?x?3在(1,??)上单调递增， 所以当x?(1,??)时，f(x)?f(1)，

即?lnx?x?1?0，

所以lnx?x?1对一切x?(1,??)成立， 因为n?2,n?N?，则有0?lnn?n?1，

所以0?lnnn?n?1n， 故ln2?ln3?ln4?lnn123n?1234?n?2?3?4??n?1n(n?2,n?N?) ??13分

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