什么是几何证明

什么是几何证明

数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的科学,与其他科学相比，除了研究对象不同外，最突出的不同就是对象的内部规律的真实性，必须用逻辑推理的方式来证明，即推证。顾名思义，推证，就是推理证明。什么是推理？“推理”是个逻辑学名词，按推理过程的思维方向划分，推理主要有演绎推理、归纳推理和类比推理。这里所说的推理指的是逻辑学中的演绎推理。所谓演绎推理，就是从一般性的前提出发，通过推导即“演绎”，得出具体陈述或个别结论的过程，它是由三段论的形式来实现的。所谓的三段论就是由大前提、小前提得出结论的三个阶段的判断命题真实性的形式。三段论推理是演绎推理中的一种简单判断推理。它包含两个直言命题构成的前提，和一个直言命题构成的结论。一个正确的三段论有且仅有三个词项，其中联系大小前提的词项叫中项，在前提中出现两次；出现在大前提中，又在结论中做谓项的词项叫大项；出现在小前提中，又在结论中做主项的词项叫小项。判断本身直接或间接地对其主项（或谓项）的全部外延作了断定的，就称这个判断的主项（或谓项）是周延的，反之不周延。判断主项、谓项周延与否的四句话： 全称或单称判断的主项都周延； 特称判断的主项都不周延；肯定判断的谓项都不周延； 否定判断的谓项都周延。人们根据三段论公理，总结出三段论的一般推理规则，使之成为判定三段论是否有效的标准。 三段论的一般规则共有七条，其中前五条是基本规则，后两条是导出规则。在这七条规则中，前三条是关于词项的规则；后四条是关于前提与结论的规则。（1）一个正确的三段论，有且只有三个不同的项。(2)三段论的中项至少要周延一次。(3)在前提中不周延的词项，在结论中不得周延。(4)两个否定前提不能推出结论。(5) 前提有一个是否定的，其结论必是否定的；若结论是否定的，则前提必有一个是否定的。(6)两个特称前提推不出结论。(7)前提中有一个是特称的，结论必须也是特称的。从思维过程来看，任何三段论都必须具有大、小前提和结论，缺少任何一部分就无法构成三段论推理。但在具体的语言表述中，无论是说话还是写文章，常常把三段论中的某些部分省去不说。省去不说的部分或是大前提，或是小前提，或是结论。什么是证明？通常所说的证明，就是用可靠的材料来表明或断定人或事物的真实性；有时也指证明书或证明信。而数学上的证明包括两个不同的概念：非形式化的证明与形式化证明。非形式化的证明即是指用来说服听众或读者接受某个定理或论断的严密的自然语言表达式。形式化证明则是以形式化语言表达的有限长度的序列。什么是形式化语言？由一个固定的字母表中的字符所构成的字符串组成的语言即为形式化语言，也就是通常所说的符号语言。任何证明都是由论题、论据和论证三部分组成的；论题包含题设和结论两个方面，它表明已知什么和求证什么；论据是推理的根据，它可以是论题的题设、已有的定义、公理及定理；论证则是指由论据推出论题的过程，它表明了二者之间的必然联系。为使论证具有说服力，进行论证时应遵循以下几个规则：①论题要明确；②论证要始终围绕同一主题；③论据要真实；④不能循环论证；⑤论据必须能推出论题。一个证明，如果论题、论据以及论证过程都是以自然语言给出，就是非形式化证明；如果都是以符号语言给出就是形式化证明。数理逻辑学家们所说的证明是后一种证明，即形式化证明。中学数学的证明也属于后一种证明，它是指利用一些已经确信为真实的命题，使用符号语言，通过逻辑推理的方法来确定某一问题的真实性的过程。要以逻辑推理的方式来证明对象内部规律的真实性，首先必须明确对象的概念；其次是内部规律必须表现以命题（包括公式）的形式。 一部数学理论，就是由原名、公理、定义、定理（命题）及其推证所组成的。定义：表达名称所代表的对象的本质属性的文词。定义的方式有两种：揭示内涵、揭示外延。为了正确地下定义，一般符合下

列要求：1、恰如其分；2、不得循环；3、不得用未定义过的名称；4、不得用否定的形式；5、不要含有能由推理得出的本质属性。由第三条可知，如果用某一名称定义另一名称时，必先对前一名称下定义方可。这样顺次上溯，终必出现不能以前述方法来定义的名称。不能引用别的名称（概念）来定义，且又用来定义其他名称（概念）的名称（概念），就叫做基本概念，简称为原名。在中学课本中，“原名”虽然也有解释，但并不是定义，只不过是对“原名”所反映的对象的一些描绘而已。根据推证命题的要求，作为推证的“大前提”必须是已经证明无误的命题。因此，如果这个命题还未得到证明，则必须先证明这个命题，而后才能用它作为大前提，去推证原来要证明的命题。这样一来，顺次上溯，终必出现其真实性不能通过推证的命题。不能以别的命题为“大前提”来推理证明，且又用来作为推证其他命题的命题，就叫做公理。原名、公理都可称作“基本事实”。定理：已经证明为真并且作为判断其他命题真假的依据的命题叫做定理。也就是说，并不是所有的真命题都是定理；在数学中，只有重要或有趣的陈述才叫定理，证明定理是数学的中心活动。相信为真但未被证明的数学叙述为猜想，当它被证明为真后便是定理。它是定理的来源，但并非唯一来源。在命题逻辑中，所有已证明的叙述都称为定理。 一般地说，一个命题或猜想常常要通过不止一次三段论的形式才能证明它的真实性。因此一个命题的“证明”形式，确切地说应该是复合三段论的形式，或者说命题的推正方法就是复合三段论。但是事实上，每一次三段论的大前提并不写出，某一次三段论的小前提如果是它前面某次三段论的结论，也不再写出。这样，一般的在推证命题时所用的表达方法就叫做简化的复合三段论法。

什么是几何证明？几何证明就是使用符号语言，从几何命题的题设出发，以命题的题设、已有的定义、公理及定理为依据，经过推理，证实命题的结论的正确性的过程。几何证明一般应有以下几个步骤：①分清命题的题设和结论，按照题意画出图形；②依据图形在已知项中写出题设，在求证项中写出结论；③证明，即根据题设及定义、公理和定理，逻辑地推导出结论。

义务教育数学课程标准（2011年版）

一、总目标：

1、获得适应社会生活和进一步发展所必须的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。

2、体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系，运用数学的思维方式进行思考，增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力。

3、了解数学的价值，提高学习数学的兴趣，增强学好数学的信心，养成良好的学习习惯，具有初步的创新意识和科学态度。

总目标从以下几个方面阐述：

? 经历数与代数的抽象、运算与等建模过程，掌握数与代数的基础知识和基本技能。 ? 经历图形的抽象、分类、性质探讨、运动、位置确定等过过程，掌握图形与几何的基础知识和基本技能。 ? 经历在实际问题中收集和处理数据、利用数据分析问题、获取信息的过程，掌握统计与概率的基础知识和基本技能。 ? 参与综合实践活动，积累综合运用数学知识、技能和方法等解决简单问题的数学活动经验。 ? 建立数感、符号感和空间观念，初步形成几何直观和运算能力，发展形象思维知识技能总目标的这四个方面，不是相互独立和割裂的，而是一个密切联系、相互交融的有机整体。在课程设计和教学活动组织中，应同时兼顾这四个方面的目标。这些目标的整体实现，是学生受到良好数学教育的标志，它对学生的全面、持续、和谐发展有着重要的意义。数学思考、问题解决、情感态度的发展离不开知识技能的学习，知识技能的学习必须有利于三个目标的实现。

数学思考与抽象思维。 ? 体会统计方法的意义，发展数据分析观念，感受随机现象。 ? 在参与观察、实验、猜想、证明、综合实践等数学活动中，发展合情推理和演绎推理能力，清晰地表达自己的想法。 ? 学会独立思考，体会数学的基本思想和思维方式。 ? 初步学会从数学的角度发现问题和提出问题，综合运用数学知识解决简单的实 问题解决际问题，增强应用意识，提高实践能力。 ? 或得分析问题和解决问题的一些基本方法，体会解决问题的方法的多样性，发展创新意识。 ? 学会与他人合作交流。 ? 初步形成评价与反思的意识。 ? 积极参与数学活动，对数学有好奇心和求知欲。 情感态度? 在数学学习过程中，体验获得成功的乐趣，锻炼克服困难的意志，建立自信心。 ? 体会数学的特点，了解数学的价值。 ? 养成认真勤奋、独立思考、合作交流、反思质疑等学习习惯。 ? 养成坚持真理、修正错误、严谨求实的科学态度。