广东省佛山市2019-2020学年上学期普通高中高三教学质量检测（一）数学理科试题（解析版）

【分析】（1）连结EF，连结EG并延长，交BC于点D，由点D是BC的中点，推导出DE∥AC，EF∥AP，从而DE∥平面PAC，EF∥平面PAC，进而平面EFG∥平面PAC，由此能证明GF∥平面PAC．

（2）连结PE，连结CG并延长交BE于点O，则O为BE的中点，连结OF，则OF∥PE，以

O为原点，OC为x轴，OB为y轴，OF为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出

二面角B﹣AP﹣C的余弦值．

【解答】解：（1）证明：连结EF，连结EG并延长，交BC于点D， 由点D是BC的中点，

∴D，E，F分别是棱CB，AB，PB的中点，∴DE∥AC，EF∥AP， ∵DE，EF?平面PAC，AC，AP?平面PAC， ∴DE∥平面PAC，EF∥平面PAC，

∵DE，EF?平面EFG，DE∩EF＝E，∴平面EFG∥平面PAC， ∵GF?平面EFG，∴GF∥平面PAC．

（2）解：连结PE，∵PA＝PB，E是AB的中点，∴PE⊥AB， ∵平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，PE?平面PAB， ∴PE⊥平面ABC，

连结CG并延长交BE于点O，则O为BE的中点，连结OF，则OF∥PE， ∴OF⊥平面ABC，∴∠FGO是GF与平面ABC所成角，∴∠FGO＝60°，

在Rt△FGO中，设GF＝2，则OG＝1，OF＝∴AB＝4

2

2

，∴OC＝3，PE＝2，

，CE＝2

2

，OE＝，

∴OE+OC＝CE，∴OC⊥AB，

以O为原点，OC为x轴，OB为y轴，OF为z轴，建立空间直角坐标系， 则A（0，﹣3

，0），C（3，0，0），P（0，﹣

，2

），

＝（3，3，0），＝（0，2），

设平面PAC的一个法向量＝（x，y，z），

则，取z＝1，得＝（），

平面PAB的法向量＝（1，0，0）， 设二面角B﹣AP﹣C的平面角为θ，

则cosθ＝＝＝，

∴二面角B﹣AP﹣C的余弦值为．

【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

21．（12分）已知函数f（x）＝1+x﹣2sinx，x＞0． （1）求f（x）的最小值； （2）证明：f（x）＞e【分析】（1）求导可知进而求得最小值；

（2）即证x＞0时，g（x）＝（1+x﹣2sinx）e＞1，利用导数容易得证． 【解答】解：（1）f′（x）＝1﹣2cosx，令f′（x）＝0，得

，

2x﹣2x．

时f（x）单减，

时f（x）单增，

故在区间[0，π]上，f′（x）的唯一零点是，

当时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当时，f′（x）

＞0，f（x）单调递增，

故在区间[0，π]上，f（x）的极小值为

，

，当x＞π时，

∴f（x）的最小值为；

（2）要证x＞0时，f（x）＞e﹣2x，即证x＞0时，g（x）＝（1+x﹣2sinx）e＞1，

2x2x2xg′（x）＝2（1+x﹣2sinx）e+（1﹣2cosx）e＝（3+2x﹣4sinx﹣2cosx）e，

令h（x）＝x﹣sinx，x＞0，

则h′（x）＝1﹣cosx≥0，即h（x）是（0，+∞）上的增函数， ∴h（x）＞h（0）＝0，即x＞sinx，

∴3+2x﹣4sinx﹣2cosx＞3+2sinx﹣4sinx﹣2cosx＝3﹣2（sinx+cosx）＝

，

2x∴g′（x）＝（3+2x﹣4sinx﹣2cosx）e＞0，

即g（x）是（0，+∞）上的增函数，g（x）＞g（0）＝1， 故当x＞0时，f（x）＞e﹣2x2x，即得证．

【点评】本题考查利用导数研究函数的最值及证明不等式，考查推理论证及运算能力，属于中档题．

请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清楚题号．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]

22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（m为参数）．

（1）写出曲线C的普通方程，并说明它表示什么曲线；

（2）已知倾斜角互补的两条直线l1，l2，其中l1与曲线C交于A，B两点，l2与C交于M，

N两点，l1与l2交于点P（x0，y0），求证：|PA|?|PB|＝|PM|?|PN|．

【分析】（1）由y＝4m，得m＝，代入x＝4m，求出C的普通方程为y＝4x，表示开口向右，焦点为F（1，0）的抛物线．

（2）设直线l1的倾斜角为α，直线l2的倾斜角为π﹣α，直线l1的参数方程为

，（t为参数），与y＝4x联立，得tsinα+（2y0sinα﹣4cosα）t+y0

﹣4x0＝0，由此能证明|PA|?|PB|＝|PM|?|PN|． 【解答】解：（1）解：由y＝4m，得m＝，

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代入x＝4m，得y＝4x， ∴曲线C的普通方程为y＝4x，

∴C的普通方程为y＝4x，表示开口向右，焦点为F（1，0）的抛物线． （2）证明：设直线l1的倾斜角为α，直线l2的倾斜角为π﹣α，

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