2018版高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语第2讲命题及其关系充分条件与必要条件理

第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件

一、选择题

1．若a∈R，则“a＝1”是“|a|＝1”的( )

A．充分而不必要条件 C．充要条件

B．必要而不充分条件 D．既不充分又不必要条件

解析 若a＝1，则有|a|＝1是真命题，即a＝1?|a|＝1，由|a|＝1可得a＝±1，所以若|a|＝1，则有a＝1是假命题，即|a|＝1?a＝1不成立，所以a＝1是|a|＝1的充分而不必要条件． 答案 A

2．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是( )

A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数” B．“若一个数的平方是正数，则它是负数” C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数” D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”

解析 原命题的逆命题是：若一个数的平方是正数，则它是负数． 答案 B

1

3．已知集合A＝{x∈R|<2x<8}，B＝{x∈R|－1

2的条件是x∈A，则实数m的取值范围是( ) A．m≥2

B．m≤2

C．m>2 D．－2

1

解析 A＝{x∈R|<2x<8}＝{x|－1

2∵x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A ∴A�藼

∴m＋1>3，即m>2. 答案 C

4．命题：“若x2<1，则－1

A．若x2≥1，则x≥1或x≤－1 B．若－11或x<－1，则x2>1 D．若x≥1或x≤－1，则x2≥1

解析 x2<1的否定为：x2≥1；－1

1

答案 D

5．命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是( )． A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数 B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数 C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数 D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数 解析 否命题既否定题设又否定结论，故选B. 答案 B

6．方程ax＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是 A．0

B．a<1

D．0

2

( )．

1

解析 法一 (直接法)当a＝0时，x＝－符合题意．

2当a≠0时，若方程两根一正一负(没有零根)， Δ＝4－4a>0，??则?1

<0??a

??a<1，

???a<0?

?a<0；

?2?－<0，

若方程两根均负，则?a1??a>0

Δ＝4－4a≥0，

??

?a≤1，???a>0

?0

综上所述，所求充要条件是a≤1.

法二 (排除法)当a＝0时，原方程有一个负实根，可以排除A，D；当a＝1时，原方程有两个相等的负实根，可以排除B，所以选C. 答案 C 二、填空题

7．已知a与b均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题

?2π?p1：|a＋b|＞1?θ∈?0，?

3??

p2：|a＋b|＞1?θ∈?

?2π，π? ?

?3?

?π?p3：|a－b|＞1?θ∈?0，?

3???π?p4：|a－b|＞1?θ∈?，π? ?3?

2

其中真命题的个数是____________．

1

解析 由|a＋b|＞1可得a2＋2a·b＋b2＞1，因为|a|＝1，|b|＝1，所以a·b＞－，

21?2π??2π?故θ∈?0，?.当θ∈?0，?时，a·b＞－，|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＞1，即|a

3?3?2??＋b|＞1，故p1正确．由|a－b|＞1可得a2－2a·b＋b2＞1，因为|a|＝1，|b|＝1，所1?π?以a·b＜，故θ∈?，π?，反之也成立，p4正确． 2?3?答案 2

8．若“x2>1”是“x

解析 由x2>1，得x<－1或x>1，又“x2>1”是“x1”，反之不成立，所以a≤－1，即a的最大值为－1. 答案 －1

???1

9．已知集合A＝?x?<2x<8，x∈R

??2?

??

?，B＝{x|－1

分不必要的条件是x∈A，则实数m的取值范围是________．

???1x解析 A＝?x?<2<8，x∈R

??2?

??

?＝{x|－1

∵x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，∴A�藼， ∴m＋1>3，即m>2. 答案 (2，＋∞)

12

10．“m<”是“一元二次方程x＋x＋m＝0有实数解”的________条件．

412

解析 x＋x＋m＝0有实数解等价于Δ＝1－4m≥0，即m≤. 4答案 充分不必要 三、解答题

11．写出命题“已知a，b∈R，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集，则a2≥4b”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．

解 (1)逆命题：已知a，b∈R，若a2≥4b，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集，为真命题．

(2)否命题：已知a，b∈R，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集，则a2<4b，为真命题．

(3)逆否命题：已知a，b∈R，若a2<4b，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集，为真命题．

12．求方程ax2＋2x＋1＝0的实数根中有且只有一个负实数根的充要条件．

3

解 方程ax2＋2x＋1＝0有且仅有一负根． 1

当a＝0时，x＝－适合条件．

2

当a≠0时，方程ax2＋2x＋1＝0有实根， 则Δ＝4－4a≥0，∴a≤1， 当a＝1时，方程有一负根x＝－1.

1

当a<1时，若方程有且仅有一负根，则x1x2＝<0，

a∴a<0.

综上，方程ax2＋2x＋1＝0有且仅有一负实数根的充要条件为a≤0或a＝1. 13．分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．

(1)若ab＝0，则a＝0或b＝0； (2)若x2＋y2＝0，则x，y全为零．

解 (1)逆命题：若a＝0或b＝0，则ab＝0，真命题． 否命题：若ab≠0，则a≠0且b≠0，真命题． 逆否命题：若a≠0且b≠0，则ab≠0，真命题． (2)逆命题：若x，y全为零，则x2＋y2＝0，真命题． 否命题：若x2＋y2≠0，则x，y不全为零，真命题． 逆否命题：若x，y不全为零，则x2＋y2≠0，真命题．

14．已知p：x2－8x－20≤0，q：x2－2x＋1－a2≤0(a>0)．若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

解 p：x2－8x－20≤0?－2≤x≤10， q：x2－2x＋1－a2≤0?1－a≤x≤1＋a. ∵p?q，q?/ p，

∴{x|－2≤x≤10}�蘽x|1－a≤x≤1＋a}． 1－a≤－2，??

故有?1＋a≥10，

??a>0，

且两个等号不同时成立，解得a≥9.

因此，所求实数a的取值范围是[9，＋∞)．

15．已知集合M＝{x|x<－3，或x>5}，P＝{x|(x－a)·(x－8)≤0}．

(1)求M∩P＝{x|5

(2)求实数a的一个值，使它成为M∩P＝{x|5

4

(2)求实数a的一个值，使它成为M∩P＝{x|5

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