二次函数中的存在性问题（平行四边形）

二、已知三个定点，再找一个定点构成平行四边形（平面内有三个点满足）

1.【08湖北十堰】已知抛物线y??ax2?2ax?b与x轴的一个交点为A(-1,0)，与y轴

的正半轴交于点C．

⑴直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与x轴的另一个交点B的坐标； ⑵当点C在以AB为直径的⊙P上时，求抛物线的解析式；

⑶坐标平面内是否存在点M,使得以点M和⑵中抛物线上的三点A、B、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在,请求出点M的坐标；若不存在,请说明理由． 解：⑴对称轴是直线：x?1，点B的坐标是(3,0)． ……2分

说明：每写对1个给1分，“直线”两字没写不扣分．

⑵如图，连接PC，∵点A、B的坐标分别是A(-1,0)、B (3,0)，

11∴AB＝4．∴PC?AB??4?2．

22在Rt△POC中，∵OP＝PA－OA＝2－1＝1， ∴OC?PC2?PO2?22?12?3．

∴b＝3． ………………………………3分 当x??1，y?0时，?a?2a?3?0，

3． ………………………………4分 33223x?x?3． ………………5分 ∴y??33∴a?⑶存在．……………………………6分

理由：如图，连接AC、BC．设点M的坐标为M(x,y)．

①当以AC或BC为对角线时，点M在x轴上方，此时CM∥AB，且CM＝AB． 由⑵知，AB＝4，∴|x|＝4，y?OC?3．

∴x＝±4．∴点M的坐标为M(4,3)或(?4,3)．…9分 说明：少求一个点的坐标扣1分．

②当以AB为对角线时，点M在x轴下方． 过M作MN⊥AB于N，则∠MNB＝∠AOC＝90°．

∵四边形AMBC是平行四边形，∴AC＝MB，且AC∥MB．

∴∠CAO＝∠MBN．∴△AOC≌△BNM．∴BN＝AO＝1，MN＝CO＝3． ∵OB＝3，∴0N＝3－1＝2．

∴点M的坐标为M(2,?3)． ……………………………12分

说明：求点M的坐标时，用解直角三角形的方法或用先求直线解析式，

然后求交点M的坐标的方法均可，请参照给分．

综上所述，坐标平面内存在点M，使得以点A、B、C、M为顶点的四边形是平行四边形．其坐标为M1(4,3),M2(?4,3),M3(2,?3)．

说明：①综上所述不写不扣分；②如果开头“存在”二字没写，但最后解答全部正确，不扣分。

2.【09浙江湖州】已知抛物线y?x2?2x?a（a?0）与y轴相交于点A，顶点为M.

1直线y?x?a分别与x轴，y轴相交于B，C两点，并且与直线AM相交于点N.

2(1)填空：试用含a的代数式分别表示点M与N的坐标，则M? ， ?，N? ， ?；

(2)如图，将△NAC沿y轴翻折，若点N的对应点N′恰好落在抛物线上，AN′与x轴交于点D，连结CD，求a的值和四边形ADCN的面积；

(3)在抛物线y?x2?2x?a（a?0）上是否存在一点P，使得以P，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，试说明理由.

y C N B A M 第（2）题

O N′ D x N B A M 备用图 P1 C O P2 x y 1??4a，?a?.……………4分

3??31??4?a?， （2）由题意得点N与点N′关于y轴对称，?N???a，3??3116282将N′的坐标代入y?x?2x?a得?a?a?a?a，

3939?a1?0（不合题意，舍去），a2??.……………2分

43???N??3，?，?点N到y轴的距离为3.

4??9?9??3?A?0，??，N? ?3，?，?直线AN?的解析式为y?x?，

4?4??4?9?9?0?，?点D到y轴的距离为. 它与x轴的交点为D?，4?4?19199189?S四边形ADCN?S△ACN?S△ACD???3????.……………2分

2222416（3）当点P在y轴的左侧时，若ACPN是平行四边形，则PN平行且等于AC，

7??4?把N向上平移?2a个单位得到P，坐标为?a，?a?，代入抛物线的解析式，

3??371628a?a?a 得：?a?3933?17??a1?0（不舍题意，舍去），a2??， ?P??，?.……………2分

8?28?（1）M?1，a?1?，N?当点P在y轴的右侧时，若APCN是平行四边形，则AC与PN互相平分，

?OA?OC，OP?ON．

?41??P 与N关于原点对称，?P??a，a?，

?33?11628将P点坐标代入抛物线解析式得：a?a?a?a，

39315?55??a1?0（不合题意，舍去）??．……………2分 ，a2??，?P?，8?28??17??55??存在这样的点P?，P??，能使得以P，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形． 或1?2?，?2828????二、已知两个定点，再找两个点构成平行四边形

①确定两定点连接的线段为一边，则两动点连接的线段应和已知边平行且相等）

1．【09福建莆田】已知，如图抛物线y?ax2?3ax?c(a?0)与y轴交于C点，与x轴交于A、

B两点，A点在B点左侧。点B的坐标为(1，0),OC=30B． (1)求抛物线的解析式；

(2)若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值：

(3)若点E在x轴上，点P在抛物线上。是否存在以A、C、E、P为顶点且以AC为一边的平行四边形?若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

3a3解：（1）∵对称轴x????………1分

2a2 又∵OC=3OB=3，a?0，

∴C（0，－3）………2分

2方法一：把B(1,0)、C(0，－3)代入y?ax?3ax?c得：

?c??33 解得：a?，c??3 ?4?a?3a?c?0329∴y?x?x?3…………………4分

44方法二：∵B（1，0），∴A(-4，0)

可令y?a(x?4)(x?1) 把C(0，-3)代入得：

3 43∴y?(x?4)(x?1)………………4分

439?x2?x?3 44a?（2）方法一：过点D作DM∥y轴分别交线段AC和x轴于点M、N。 ∵S四边形ABCD＝SABC?SACD ＝＝15115??DM?(AN?ON)??2DM……………5分 222∵A(-4，0)，C(0，-3)

设直线AC的解析式为y?kx?b 代入求得：y?3x?3……………6分 493x?3)，M(x，?x?3) 443393DM??x?3?(x2?x?3)??(x?2)2?3 …………7分

4444当x??2时，DM有最大值3

27此时四边形ABCD面积有最大值。…………8分

2方法二：过点D作DQ⊥y轴于Q，过点C作CC1∥x轴交抛物线于C1，从图象中可判断当嗲D在CC1下方

令D(x，x?234的抛物线上运动时，四边形ABCD才有最大值。 则S四边形ABCD＝S=

OBC?S梯形AOQD－SDQC=

311??(4?DQ)?OQ??DQ?(OQ?3) 22233?2OQ?DQ …………5分 22329令D(x，x?x?3)

44332933272则S四边形ABCD＝?2(x?x?3)?x??(x?2)?…………7分

24422227当x??2时，四边形ABCD面积有最大值。…………8分

2（3）如图所示，讨论：①过点C作CP1∥x轴交抛物线于点P1E1∥AC交x轴于点E1，此时1，过点P1作P四边形ACPE11为平行四边形，…………9分 ∵C(0，-3)

329x?x?3??3得： x1?0，x2?3 44，?3) ∴CP1(?31?3。∴P令

12.【09福建南平】已知抛物线：y1??x2?2x

2（1）求抛物线y1的顶点坐标.

（2）将抛物线y1向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线y2，求抛物线y2的解析式.

（3）如下图，抛物线y2的顶点为P，x轴上有一动点M，在y1、y2这两条抛物线上是否存在点N，使O（原点）、P、M、N四点构成以OP为一边的平行四边形，若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由.

?b4ac?b2?b??,【提示：抛物线y?ax?bx?c（a≠0）的对称轴是x??顶点坐标是?】 ，??2a4a??2a21解：（1）依题意 a??,b?2,c?0……………1分

24ac?b20?22b2??2……3分 ∴????2，

114a2a4?(?)2?(?)22∴顶点坐标是（2，2）………………………4分

（2）根据题意可知

-1y543211-1-2-323456789y2y1x