(全国通用)19届高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9.5椭圆第1课时学案

解析 设点B的坐标为(x0，y0)．

y222

∵x＋2＝1，∴F1(－1－b，0)，F2(1－b，0)．

b2

∵AF2⊥x轴，设点A在x轴上方， 则∴A(1－b，b)．

→→

∵|AF1|＝3|F1B|，∴AF1＝3F1B，

∴(－21－b，－b)＝3(x0＋1－b，y0)． 5b2

∴x0＝－1－b，y0＝－.

33

2

2

2

2

22

b?2?5

∴点B的坐标为?－1－b，－?.

3??3

b?y22?522

将B?－1－b，－?代入x＋2＝1，得b＝.

3?b3?3

322

∴椭圆E的方程为x＋y＝1.

2题型三 椭圆的几何性质

2

2

2

典例 (1)(2017·安庆模拟)P为椭圆＋＝1上任意一点，EF为圆N：(x－1)＋y＝4的任

1615→→

意一条直径，则PE·PF的取值范围是( ) A．[0,15] C．[5,21] 答案 C

→→→→→→→→→→→2→2→2

解析 PE·PF＝(PN＋NE)·(PN＋NF)＝(PN＋NE)·(PN－NE)＝PN－NE＝|PN|－4，因为a－

B．[5,15] D．(5,21)

x2y2

22

c≤|PN|≤a＋c，即3≤|PN|≤5，所以PE·PF的取值范围是[5,21]．

x2y2

(2)(2016·全国Ⅲ)已知O为坐标原点，F是椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的左焦点，A，B分

ab别为椭圆C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为( ) 1123A. B. C. D. 3234答案 A

解析 由题意知，A(－a,0)，B(a,0)，F(－c,0)． 设M(－c，m)，则E?0，→→→→

?

?

am?

，OE的中点为D， a－c??

9

则D?0，?，又B，D，M三点共线，

?2?a－c??

?

am?

mm1

所以＝，即a＝3c，即e＝. 2?a－c?a＋c3

思维升华 (1)利用椭圆几何性质的注意点及技巧 ①注意椭圆几何性质中的不等关系

在求与椭圆有关的一些范围问题时，经常用到x，y的范围，离心率的范围等不等关系． ②利用椭圆几何性质的技巧

求解与椭圆几何性质有关的问题时，理清顶点、焦点、长轴、短轴等基本量的内在联系． (2)求椭圆的离心率问题的一般思路

求椭圆的离心率或其范围时，一般是依据题设得出一个关于a，b，c的等式或不等式，即可得离心率或离心率的范围．

x2y2

跟踪训练 (1)(2017·德阳模拟)已知椭圆＋2＝1(0

4bF1的直线l交椭圆于A，B两点，若|BF2|＋|AF2|的最大值为5，则b的值是________．

答案

3

解析 由椭圆的方程可知a＝2，由椭圆的定义可知，|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a＝8，所以|AB|2b＝8－(|AF2|＋|BF2|)≥3，由椭圆的性质可知＝3.

2

a所以b＝3，即b＝3.

2

x2y2222

(2)(2018·长沙月考)已知椭圆2＋2＝1(a>b>c>0，a＝b＋c)的左、右焦点分别为F1，F2，

ab若以F2为圆心，b－c为半径作圆F2，过椭圆上一点P作此圆的切线，切点为T，且|PT|的最小值不小于

3

(a－c)，则椭圆的离心率e的取值范围是__________． 2

2??3

答案 ?，?

?52?

解析 因为|PT|＝|PF2|－?b－c?(b>c)， 而|PF2|的最小值为a－c，

所以|PT|的最小值为?a－c?－?b－c?. 依题意，有?a－c?－?b－c?≥

2

22222223

(a－c)， 2

所以(a－c)≥4(b－c)，所以a－c≥2(b－c)， 所以a＋c≥2b，所以(a＋c)≥4(a－c)， 所以5c＋2ac－3a≥0，所以5e＋2e－3≥0.① 又b>c，所以b>c，所以a－c>c，

10

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

所以2e<1.②

32

联立①②，得≤e<. 52

2

11

1．设F1，F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|

2516＝3，则P点到椭圆左焦点的距离为( ) A．4 B．3 C．2 D．5 答案 A

1

解析 由题意知|OM|＝|PF2|＝3，∴|PF2|＝6，

2∴|PF1|＝2a－|PF2|＝10－6＝4.

2．(2018·开封模拟)曲线C1：＋＝1与曲线C2：＋＝1(k<9)的( )

25925－k9－kA．长轴长相等 C．离心率相等 答案 D

解析 因为c1＝25－9＝16，c2＝(25－k)－(9－k)＝16， 所以c1＝c2，所以两个曲线的焦距相等．

2

2

x2y2

x2y2x2y2

B．短轴长相等 D．焦距相等

x2y2

3．已知圆(x－1)＋(y－1)＝2经过椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的右焦点F和上顶点B，则椭

ab2

2

圆C的离心率为( ) 12A. B.2 C．2 D. 22答案 D

解析 由题意得，椭圆的右焦点F为(c,0)，上顶点B为(0，b)．因为圆(x－1)＋(y－1)＝

???c－1?＋1＝2，2经过右焦点F和上顶点B，所以?2

?1＋?b－1?＝2，?

2

2

2

解得b＝c＝2，则a＝b＋c＝8，解得a＝22， 所以椭圆C的离心率e＝＝222

c22

＝，故选D.

a222

x2

→2

4．(2017·西宁模拟)设F1，F2分别为椭圆＋y＝1的左、右焦点，点P在椭圆上，且|PF1＋

4

PF2|＝23，则∠F1PF2等于( )

πA. 6

→

πB. 4

12