概率统计在金融中的应用

河南xxxxxx本科毕业论文 第二章 概率统计常用理论知识

2而使此函数Q(?0,?1)?????(yi??0??1xi)达到最小为原则，则此时对未知参

2ii?1i?1nn数?0和?1的估计,就称为未知参数?0和?1的最小二乘估计，估计值记为?0和?1。通过以上的分析，这时候我们称此方程y??0??1x为Y关于x的经验回归方程,简称为回归方程。

接下来就是求未知参数?0 ，?1的最小二乘估计： 因为此方程Q(?0,?1)的极值点可以写成：

n?Q??2?(yi??0??1xi)?0 ?ai?1nn??n?0?(?xi)?1??yi?i?1i?1由此式子得方程组： ?n nn?(x)??(x2)??xy?i0??iii?i?1i?1?i?1?????现在对上面方程组进行求解，得唯一解如下：

nnn???n?xiyi?(?xi)(?yi)i?1i?1??1?i?1n?n?n?xi2?(?xi)2 ?i?1i?1?_?_??1nbn??0??yi??xi?y??1xni?1ni?1????(x?x)(yii?1n_ii?1n_i?y)2_?(x?x)

求出的解中的?0和?1为未知参数?0，?1的最小二乘估计量。

1?y?yi这表明，关于样本值，???1(x?x) 而此时回归方程也可写成y?y?ni?1(x1,y1),(x2,y2),?,(xn,yn)的回归直线通过散点图的几何中心(x,y)。为了计算上的

n方便，我们引入记号：

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1n2 Sxx??(xi?x)???(?xi)ni?1i?1i?1nn1n22 Syy??(yi?y)??yi?(?yi)2ni?1i?1i?1nnn1nSxy??(xi?x)(yi?y)??xiyi?(?xi)(?yi)ni?1i?1i?1i?1n2nxi2这样，?0 ，?1的估计值可写成：?1???Sxx， Sxy?1n1n ?0??yi??(?xi)?1。

ni?1ni?1 下面是对?2的估计：

2222 由于E??[Y?(?0??1xi)]??E(?)?D(?)?[E(?)]??，所以我们就把式子

记做： yi?y??x?xi??0??1xi，

??此时我们称y?y?i为xi处的残差；而平方和式： i Qn??(yi?yi)??(yi??0??1xi)

i?1i?1n_2n??2称为残差平方和。

下面我们计算Q：

e 我们首先将Q做如下分解：

e Qn??(yi?yi)??[yi?y??1(x?xi)]

i?1_i?1n_2n_?2 ??(yi?yi)?2?1?(xi?x)(yi?y)?(?1)i?1i?1n2?n__?2?(x?x)ii?1n_2

?Syy?2?1Sxy?(?1)2Sxx 再由?1????Sxx?得Q的另一个分解式：Qn?Syy??1Sxy。相应的统计量为： Sxye? Qn?SYY??1SxY 然后我们可以证明：

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于是：

Q??2??2(n?2)

E(即：

Q??2)?(n?2)

E(Q?这样就得到了?2的无偏估计量为：

)??2 n?2?Q?1 ???[Syy??1SxY]

n?2n?2?2 最后我们进行线性假设的显著性检验：

在以上的讨论中，我们假定Y关于x的回归函数?(x)具有线性形式：?0??1x。在处理实际问题时，?(x)是否为x的线性函数，首先要根据有关专业知识和实践来判断，其次就要根据实际观察得到的数据运用假设检验的方法来判断。这就是说，求得的线性回归方程是否具有实用价值，一般来说，需要经过假设检验才能确定。若线性假设符合实际，则?1不应为零，因为若?1?0则?(x)就不依赖于x了。

因此，我们需要检验假设：

H0:?1?0 H1:?1?0 用t检验法来进行检验，可以证明：?1?(?1,?S)

xxQQ2由?2??(n?2)和E(?2)?(n?2)得到：

?2?? (n?2)??Q???2(n?2)

22?2??由于?1与Q?相互独立，故有：

???1??1?即：

2(n?2)??2?2(n?2)?t(n?2)

Sxx 11

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??1??1?t(n?2) 2?Sxx?且E(?1)??0?0，即得H的拒绝域为：

0 t?此处?为显著性水平。

当假设H被拒绝时，认为回归效果是显著的，反之，就认为回归效果不显著。

0?1???Sxx?t?2)n?2

回归效果不显著的原因可能有如下几种：

（1）影响Y的取值，除了x及随机误差外还有其它不可忽略的因素； （2）?(x)不是x的线性函数，而是其它形式的函数； （3）Y与x不存在关系。

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