备战中考数学专题复习圆与相似的综合题含答案解析

时，如图5，

∴ ∴

综上所述，t=1或3或 或 秒时，△PQF是等腰三角形

【解析】【分析】（1）根据题中的已知条件可得△BEF和△DCB中的两角对应相等，从而可证△BEF∽△DCB；（2）过点Q作 QM⊥EF 于 M ，先根据相似三角形的预备定理可证△QMF ∽ △BEF；再由△QM F ∽ △BEF可用含t的代数式表示出QM的长；最后代入三角形的面积公式即可求出t的值。（3）由题意应分两种情况：（1）当点Q在DF上时，因为 ∠PFQ为钝角，所以只有PF = QF 。（2）当点Q在BF上时，因为没有指明腰和底，所以有 PF=QF；PQ = FQ；PQ = PF 三种情况，因此所求的t值有四种结果。

3．如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，BC=2，AC=4，点D在射线BC上，以点D为圆心，BD为半径画弧交边AB于点E，过点E作EF⊥AB交边AC于点F，射线ED交射线AC于点G．

（1）求证：△EFG∽△AEG；

（2）设FG=x，△EFG的面积为y，求y关于x的函数解析式并写出定义域；

（3）联结DF，当△EFD是等腰三角形时，请直接写出FG的长度．

【答案】（1）证明：∵ ED=BD， ∴ ∠B=∠BED． ∵ ∠ACB=90°，

∴ ∠B+∠A=90°． ∵ EF⊥AB， ∴ ∠BEF=90°． ∴ ∠BED+∠GEF=90°． ∴ ∠A=∠GEF． ∵ ∠G是公共角， ∴ △EFG∽△AEG

（2）解：作EH⊥AF于点H．

∵ 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2，AC=4， ∴tanA= = ，

∴ 在Rt△AEF中，∠AEF=90°，tanA= = , ∵ △EFG∽△AEG， ∴ ∵ FG=x， ∴ EG=2x，AG=4x． ∴ AF=3x． ∵ EH⊥AF， ∴ ∠AHE=∠EHF=90°． ∴ ∠EFA+∠FEH=90°． ∵ ∠AEF=90°， ∴ ∠A+∠EFA=90°, ∴ ∠A=∠FEH, ∴ tanA =tan∠FEH,

∴ 在Rt△EHF中，∠EHF=90°，tan∠FEH= = , ∴ EH=2HF,

,

∵ 在Rt△AEH中，∠AHE=90°，tanA= = ， ∴ AH=2EH， ∴ AH=4HF， ∴ AF=5HF， ∴ HF= ， ∴EH= ， ∴y= FG·EH= x· =

定义域：（0

（3）解：当△EFD为等腰三角形时， ①当ED=EF时，则有∠EDF=∠EFD， ∵∠BED=∠EFH， ∴∠BEH=∠AHG， ∵∠ACB=∠AEH=90°，

∴∠CEF=∠HEF，即EF为∠GEH的平分线， 则ED=EF=x，DG=8?x， ∵anA= ， ∴x=3，即BE=3；

②若FE=FD, 此时FG的长度是 ; ③若DE=DF, 此时FG的长度是

.

【解析】【分析】（1）因为ED=BD，所以∠B=∠BED．根据等角的补角相等可得∠A=∠GEF，而∠G是公共角，所以由相似三角形的判定可得△EFG∽△AEG； （2）作EH⊥AF于点H．∠AEF=∠ACB=90°，∠A是公共角，所以可得所以可得比例式，

AEF

ACB，

,由（1）得△EFG∽△AEG，所以可得比例式，

,因为FG=x，所以EG=2x，AG=4x．则AF=3x，由同角的余角相等可得

∠A=∠FEH,所以tanA =tan∠FEH,在Rt△EHF中，∠EHF=90°，tan∠FEH=

,所以EH=2HF,

在Rt△AEH中，同理可得AH=2EH，所以AH=4HF，AF=5HF，HF=x ，则EH= x ，△EFG的面积y= FG·EH=x· x=

,自变量的取值范围是0

（3）当△EFD为等腰三角形时，分三种情况讨论： ①当ED=EF时，则有∠EDF=∠EFD，易得FG=3； ②若FE=FD, 易得FG=； ③若DE=DF, 易得FG=

.

4．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=12．点D在直线CB上，以CA ， CD为边作矩形ACDE ， 直线AB与直线CE ， DE的交点分别为F ， G ．

（1）如图，点D在线段CB上，四边形ACDE是正方形． ①若点G为DE中点，求FG的长． ②若DG=GF ， 求BC的长．

（2）已知BC=9，是否存在点D ， 使得△DFG是等腰三角形？若存在，求该三角形的腰长；若不存在，试说明理由．

【答案】（1）①在正方形ACDE中，有DG=GE=6 在Rt△AEG中，AG= ∵EG∥AC ∴△ACF∽△GEF ∴ ∴ ∴

，

②如图1，在正方形ACDE中，AE=ED