备战中考数学专题复习圆与相似的综合题含答案解析

备战中考数学专题复习圆与相似的综合题含答案解析

一、相似

1．如图，已知A（﹣2，0），B（4，0），抛物线y=ax2+bx﹣1过A、B两点，并与过A点的直线y=﹣ x﹣1交于点C．

（1）求抛物线解析式及对称轴；

（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使四边形ACPO的周长最小？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；

（3）点M为y轴右侧抛物线上一点，过点M作直线AC的垂线，垂足为N．问：是否存在这样的点N，使以点M、N、C为顶点的三角形与△AOC相似，若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由．

【答案】 （1）解：把A（-2，0），B（4，0）代入抛物线y=ax2+bx-1，得

解得

∴抛物线解析式为：y= x2? x?1

∴抛物线对称轴为直线x=-

＝1

（2）解：存在

使四边形ACPO的周长最小，只需PC+PO最小

∴取点C（0，-1）关于直线x=1的对称点C′（2，-1），连C′O与直线x=1的交点即为P点．

设过点C′、O直线解析式为：y=kx

∴k=- ∴y=- x

则P点坐标为（1，- ）

（3）解：当△AOC∽△MNC时，

如图，延长MN交y轴于点D，过点N作NE⊥y轴于点E

∵∠ACO=∠NCD，∠AOC=∠CND=90° ∴∠CDN=∠CAO 由相似，∠CAO=∠CMN ∴∠CDN=∠CMN ∵MN⊥AC

∴M、D关于AN对称，则N为DM中点 设点N坐标为（a，- a-1） 由△EDN∽△OAC ∴ED=2a

∴点D坐标为（0，- a?1） ∵N为DM中点

∴点M坐标为（2a， a?1） 把M代入y= x2? x?1，解得 a=4

则N点坐标为（4，-3）

当△AOC∽△CNM时，∠CAO=∠NCM

∴CM∥AB则点C关于直线x=1的对称点C′即为点N

由（2）N（2，-1）

∴N点坐标为（4，-3）或（2，-1）

【解析】【分析】（1）根据点A、B的坐标，可求出抛物线的解析式，再求出它的对称轴即可解答。

（2）使四边形ACPO的周长最小，只需PC+PO最小，取点C（0，-1）关于直线x=1的对称点C′（2，-1），连C′O与直线x=1的交点即为P点，利用待定系数法求出直线C′O的解析式，再求出点P的坐标。

（3）分情况讨论：当△AOC∽△MNC时，延长MN交y轴于点D，过点N作NE⊥y轴于点E，由∠ACO=∠NCD，∠AOC=∠CND=90°得出∠CDN=∠CAO，再证明∠CDN=∠CMN，根据MN⊥AC，可得出M、D关于AN对称，则N为DM中点，设点N坐标为（a，- a-1），根据△EDN∽△OAC，得出点D、M的坐标，然后将点M的坐标代入抛物线的解析式求出a的值，即可得出点N的坐标；当△AOC∽△CNM时，∠CAO=∠NCM，得出CM∥AB则点C关于直线x=1的对称点C′即为点N，就可求出点N的坐标。

2．如图1，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，E、F分别是AB、BD的中点，连接EF，点P从点E出发，沿EF方向匀速运动，速度为1cm/s，同时，点Q从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为2cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动．连接PQ，设运动时间为t（0＜t＜4）s，解答下列问题：

（1）求证：△BEF∽△DCB；

（2）当点Q在线段DF上运动时，若△PQF的面积为0.6cm2 ， 求t的值； （3）当t为何值时，△PQF为等腰三角形？试说明理由． 【答案】（1）解：∵四边形ABCD是矩形， ∴ 在 ∵

别是

AD∥BC， 中，

的中点，

EF∥BC，

∴EF∥AD， ∴ ∴ ∴

于 ，

（2）解：如图1，过点Q作

∴QM∥BE， ∴

∴ ∴

（舍）或

秒

（3）解：当点Q在DF上时，如图2，

∴ ∴

.

，如图3，

当点Q在BF上时，

∴ ∴

时，如图4，

∴ ∴