2017-2018学年高中数学第一章数列1.2等差数列1.2.1.1习题精选北师大版必修5

第1课时 等差数列的定义和通项公式

课后篇巩固探究

1.若{an}是等差数列,则下列数列中也成等差数列的是

( )

A.{

}

B.

C.{3an}

D.{|an|}

解析:设{an}的公差为d,则3an+1-3an=3(an+1-an)=3d是常数,故{3an}一定成等差数列.

{答案:C

2.在等差数列{an}中,a1+a5=10,a4=7,则数列{an}的公差为( )

.2

解析:∵a1+a5=10=a1+a1+4d=2(a1+2d)=2a3,

},

,{|an|}都不一定是等差数列,例如当{an}为{3,1,-1,-3}时.

∴a3=5.故d=a4-a3=7-5=2.

答案:B

3.已知{an}是首项a1=2,公差为d=3的等差数列,若an=2 018,则序号n等于( )

.671

解析:∵a1=2,d=3,∴an=2+3(n-1)=3n-1.

令3n-1=2 018,解得n=673. 答案:D

4.等差数列{an}中,a1=8,a5=2,如果在每相邻两项间各插入一个数,使之成为新的等差数列,那么新的等差数列的公差是( ) A.

解析:设新数列a1,b1,a2,b2,a3,b3,a4,b4,a5,…,公差为d,则a5=a1+8d,所以d=故选B. 答案:B

5.已知点(n,an)(n∈N+)都在直线3x-y-24=0上,则在数列{an}中有( )

=-=-.+a9>0 +a9=0

+a9<0

·a9=0

解析:∵(n,an)在直线3x-y-24=0,∴an=3n-24.

∴a7=3×7-24=-3,a9=3×9-24=3, ∴a7+a9=0.

答案:C

6.在等差数列{an}中,若a1=7,a7=1,则a5= . 答案:3

7.在等差数列{an}中,已知a5=10,a12>31,则公差d的取值范围是 . 解析:设此数列的首项为a1,公差为d,

由已知得

②-①,得7d>21,所以d>3.

答案:d>3

8.在数列{an}中,a1=3,且对任意大于1的正整数n,点({an}的通项公式为an= . 解析:由题意知

(n≥2),

为首项,以

为公差的等差数列, (n-1)=)在直线x-y-=0上,则数列

∴{∴}是以

+(n-1)d=n.

∴an=3n2.

答案:3n

9.已知数列{an},{bn}满足

是等差数列,且bn=n,a2=5,a8=8,则a9= .

2

2

解析:由题意得,

因为是等差数列,所以可得该等差数列的公差d=-,

所以答案:-513

=-,所以a9=-513.

10.如果在等差数列{3n-1}的每相邻两项之间插入三项后使它们构成一个新的等差数列,那么新数列的第29项是原数列的第 项.

解析:设an=3n-1,公差为d1,新数列为{bn},公差为d2,a1=2,b1=2,d1=an-an-1=3,d2=,则

bn=2+(n-1)=n+,b29=23,令an=23,即3n-1=23.故n=8.

答案:8

11.若一个数列{an}满足an+an-1=h,其中h为常数,n≥2且n∈N+,则称数列{an}为等和数列,h为公和.已知等和数列{an}中,a1=1,h=-3,则a2 016= . 解析:易知an=答案:-4

12.已知a,b,c成等差数列,且它们的和为33,又lg(a-1),lg(b-5),lg(c-6)也构成等差数列,求a,b,c的值.

∴a2 016=-4.

解由已知,得

∴

解得a=4,b=11,c=18或a=13,b=11,c=9. 13.(1)求b1和b2; (2)求{bn}的通项公式;

(3){bn}中的第110项是{an}的第几项? 解(1)∵a1=3,d=-5,∴an=3+(n-1)(-5)=8-5n.

导学号已知无穷等差数列{an},首项a1=3,公差d=-5,依次取出项的序号被4

除余3的项组成数列{bn}.

∵数列{an}中项的序号被4除余3的项依次是第3项,第7项,第11项,…, ∴{bn}的首项b1=a3=-7,b2=a7=-27.

(2)设{an}中的第m项是{bn}的第n项,即bn=am, 则m=3+4(n-1)=4n-1,

∴bn=am=a4n-1=8-5(4n-1)=13-20n(n∈N+).∴{bn}的通项公式为bn=13-20n(n∈N+).

(3)b110=13-20×110=-2 187,设它是{an}中的第m项,则8-5m=-2 187,则m=439. 14.∈N+.

(1)求证:数列{bn}为等差数列.

(2)试问a1a2是否是数列{an}中的项?如果是,是第几项?如果不是,请说明理由. (1)时,

证

明

当

导学号已知数列{an}满足a1=,且当n>1,n∈N+时,有

,设bn=,nn>1,n∈N+-2=2+∴{bn}是等差数列,且公差为4,首项为5.

=4?bn-bn-1=4,且b1==5.

(2)解由(1)知bn=b1+(n-1)d=5+4(n-1)=4n+1.

∴an=,n∈N+.

∴a1=,a2=,∴a1a2=.

令an=,∴n=11,即a1a2=a11.

∴a1a2是数列{an}中的项,是第11项.