2020版高考数学二轮复习 解析几何 第2讲 圆锥曲线的定义、方程与性质练典型习题 (含解析)

第2讲 圆锥曲线的定义、方程与性质

一、选择题

x2y2

1．已知双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的焦点到渐近线的距离为3，且离心率为2，则该

ab双曲线的实轴的长为( )

A．1 C．2

B．3 D．23

解析：选C.由题意知双曲线的焦点(c，0)到渐近线bx－ay＝0的距离为即c－a＝3，又e＝＝2，所以a＝1，该双曲线的实轴的长为2a＝2.

2

2

bc＝b＝3，a2＋b2

ca2．若抛物线y＝4x上一点P到其焦点F的距离为2，O为坐标原点，则△OFP的面积为( ) 1A． 23C． 2

B．1 D．2

2

2

解析：选B.设P(x0，y0)，依题意可得|PF|＝x0＋1＝2，解得x0＝1，故y0＝4×1，解得

y0＝±2，不妨取P(1，2)，则△OFP的面积为×1×2＝1.

3．(2019·高考全国卷Ⅲ)双曲线C：－＝1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，

42

12

x2y2

O为坐标原点．若|PO|＝|PF|，则△PFO的面积为( )

32A．

4C．22

32B．

2D．32

2

解析：选A.不妨设点P在第一象限，根据题意可知c＝6，所以|OF|＝6. 又tan∠POF＝＝＝32

. 4

ba262313，所以等腰三角形POF的高h＝×＝，所以S△PFO＝×6×222222

x2y2

4．(2019·昆明模拟)已知F1，F2为椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点，B为C的短

ab|AF1|

轴的一个端点，直线BF1与C的另一个交点为A，若△BAF2为等腰三角形，则＝( )

|AF2|

1A． 32C． 3

1B． 2D．3

解析：选A.如图，不妨设点B在y轴的正半轴上，根据椭圆的定义，得|BF1|＋|BF2|＝2a，|AF1|＋|AF2|＝2a，由题意知|AB|＝|AF2|，

a3a|AF1|1

所以|BF1|＝|BF2|＝a，|AF1|＝，|AF2|＝.所以＝.故选A.

22|AF2|3

x2y2

5．(2019·湖南湘东六校联考)已知椭圆Γ：2＋2＝1(a>b>0)的长轴长是短轴长的2倍，

ab→→

过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线与Γ相交于A，B两点．若AF＝3FB，则k＝( )

A．1 C．3

B．2 D．2

→→

解析：选D.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为AF＝3FB，所以y1＝－3y2.因为椭圆Γ的长轴

x2y2

长是短轴长的2倍，所以a＝2b，设b＝t，则a＝2t，故c＝3t，所以2＋2＝1.设直线AB4tt的方程为x＝sy＋3t，代入上述椭圆方程，得(s＋4)y＋23sty－t＝0，所以y1＋y2＝－23stt23stt122

，yy＝－，即－2y＝－，－3y＝－，得s＝，k＝2，故选D. 1222

s2＋4s2＋4s2＋4s2＋42

6．(多选)设抛物线C：y＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，以F为圆心，|FA|为半径的圆交l于B，D两点．若∠ABD＝90°，且△ABF的面积为93，则( )

A．△ABF是等边三角形 C．点F到准线的距离为3

B．|BF|＝3

D．抛物线C的方程为y＝6x

2

2

2

2

2

2

2

解析：选ACD.因为以F为圆心，|FA|为半径的圆交l于B，D两点，∠ABD＝90°，由抛物线的定义可得|AB|＝|AF|＝|BF|，所以△ABF是等边三角形，所以∠FBD＝30°.因为△ABF的面积为

32

|BF|＝93，所以|BF|＝6.又点F到准线的距离为|BF|sin 30°＝3＝p，则该抛4

2

物线的方程为y＝6x.

二、填空题

x2y2

7．已知P(1，3)是双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)渐近线上的点，则双曲线C的离心率

ab是________．

解析：双曲线C的一条渐近线的方程为y＝x，P(1，3)是双曲线C渐近线上的点，则

babac＝3，所以离心率e＝＝

aa2＋b2

＝a2b2

1＋2＝2. a

答案：2

8．(2019·高考全国卷Ⅲ)设F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，M为C上一点且在

3620第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为________．

解析：不妨令F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，根据题意可知c＝36－20＝4.因为△MF1F2

为等腰三角形，所以易知|F1M|＝2c＝8，所以|F2M|＝2a－8＝4.设M(x，y)，

＋＝1，

3620??|FM|＝（x＋4）＋y＝64，?x＝3，则?得?

?y＝15，

x>0，??y>0，

2

2

2

1

x2y2

x2y2

所以M的坐标为(3，15)． 答案：(3，15)

9．(2019·湖南师大附中月考改编)抛物线x＝2py(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线－3

2

x2

y2

3

＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________，抛物线的焦点到双曲线渐

近线的距离为________．

解析：抛物线的焦点坐标为?0，?，准线方程为y＝－，准线方程与双曲线方程联立可

2?2?得－＝1，解得x＝±

312×2?

p?

px2p2

33

3＋.因为△ABF为等边三角形，所以|AB|＝p，即

422

p2

3＋＝p，解得p＝6.则抛物线焦点坐标为(0，3)，双曲线渐近线方程为y＝±x，则抛

4

3

32＝.

22

p2物线的焦点到双曲线渐近线的距离为32

2

答案：6

三、解答题

x2y2

10．(2019·高考天津卷)设椭圆2＋2＝1(a>b>0)的左焦点为F，上顶点为B.已知椭圆的

ab短轴长为4，离心率为

5. 5

(1)求椭圆的方程；

(2)设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线PB与x轴的交点，点N在y轴的负半轴上，若|ON|＝|OF|(O为原点)，且OP⊥MN，求直线PB的斜率．

解：(1)设椭圆的半焦距为c，依题意，2b＝4，＝2，c＝1.

所以，椭圆的方程为＋＝1.

54

ca5222

，又a＝b＋c，可得a＝5，b＝5

x2y2

(2)由题意，设P(xp，yp)(xp≠0)，M(xM，0)．设直线PB的斜率为k(k≠0)，

y＝kx＋2，??22

22

又B(0，2)，则直线PB的方程为y＝kx＋2，与椭圆方程联立?xy整理得(4＋5k)x＋＝1，??54

＋20kx＝0，

20k可得xp＝－2，

4＋5k8－10k代入y＝kx＋2得yp＝2，

4＋5k2

yp4－5k2

进而直线OP的斜率为＝.

xp－10k2

在y＝kx＋2中，令y＝0，得xM＝－.

k由题意得N(0，－1)，所以直线MN的斜率为－.

2

4－5k?k?242302

由OP⊥MN，得·?－?＝－1，化简得k＝，从而k＝±.

－10k?2?55230230

所以，直线PB的斜率为或－.

55

2

kx2y23

11．已知椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的离心率为，短轴长为2.

ab2

(1)求椭圆C的标准方程；

5

(2)设直线l：y＝kx＋m与椭圆C交于M，N两点，O为坐标原点，若kOM·kON＝，求原点4

O到直线l的距离的取值范围．

解：(1)由题知e＝＝

ca3222

，2b＝2，又a＝b＋c，所以b＝1，a＝2， 2

所以椭圆C的标准方程为＋y＝1.

4

x2

2

y＝kx＋m，??2

222

(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立?x得(4k＋1)x＋8kmx＋4m－4＝0， 2

＋y＝1，??4

依题意，Δ＝(8km)－4(4k＋1)(4m－4)＞0，化简得m＜4k＋1，①

2

2

2

2

2