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第二讲数列的极限
2 . 1 数列极限的基本概念
一、数列的收敛与发散
1 .
???N?定义
?0 ，?N?0，当n?N时，恒有an?A??，
若存在一个常数 A ，对???an?为一数列，
n??则称数列?an?收敛于 A ，记作liman?A；否则称为发散． ,
2 ．等价表述
?an?为一数列，若存在一个常数 A ，对??n???0，在邻域??A;??的外部仅有数列?an?的
有限项，则称数列?an?收敛于 A ，记作liman?A；否则称为发散． 例 2 . 1 证明lim2n?12?
n??3n?53证明：估计
2n?12?3n?53?3?????13553????n?5?5 ，于是对???0 ，
3?3n?5?3n?52nn2n?122n?12? ???,即limn??3n?533n?53取，N?max?5,??0，当n?N时，恒有
n例 2 . 2 证明数列an???1? n?1,2,...,a ，是发散的． 证明：只需证明它不收敛于任意的实常数． ( 1 ）证明数列?an?不收敛于 1 ：事实上取??1?0，在??1;??外部有数列?an?的所有2数项（无穷多项），由定义，数列?an?不收敛于 l ( 2 ）对?c?R，且c?1，令：??1?c2?0，则1???c;??即数列?an?的所有偶数项
都在??c;??外部，说明数列?an?不收敛于c． 综上得到数列?an?发散．
例 2 . 3 设limxn?limyn?a，作数列?zn?如下：
n??n???zn? :
x1,y1,x2,y2,...,xn,yn,? 证明：limzn?a.
n??证明：因为limxn?limyn?a，故对???0，在??a;??的外部仅有数列?xn?,?yn?的有
n??n??限项，从而也只有数列?zn?的有限项，由定义知limzn?a.
n??注：这是一个非常有用的结论：只要一个数列的偶数项与奇数项收敛于同一极限，则此数列必收敛．
3 ．无穷小数列与无穷大数列
若liman?0，则称?an?为无穷小数列；若liman???，则称?an?为无穷大数列．
n??n??二、数列收敛的条件
1 ．充要条件
( 1 ）数列?an?收敛的充要条件是?an?的任意子列都收敛． 证明：?an?:设limn???a, ?ank?是?an?的任意子列，对，???0?N?0，使得当k＞ N
时有ak?a??．由于nk?k?N，更有ank?a??，即ank也收敛于a（注意到所有的子列与?an?有相同的极限） .
????:（证法一）由已知，有?an?的偶数项构成的子列?ank?与奇数项构成的子列?a2k?1?都
是收敛的，由上面的例2.3，只需证明它们的极限相同即可 · 记lima2k?a,lima2k?1?b· 因为子列
k??k???a3k? ,
?a6k?也收敛，记
lima3k?a,lima6k?d· 由于?a6k?同时是?a2k? , ?a3k?的子列，所以应有d=c且d=a ，
k??k??于是a=c．
再记lima6k?3?e因?a6k?3?同时是?a2k?1? , ?a3k?的子列，应有e=c,e=b，于是 b = c ，从
k??而a=b．结论成立．
（证法二）（反证法）假设数列?an?不收敛，即对?a?R都有liman?a．则??0?0，
n??.对?N?0 ，?n0?N，使an0?a??0，令N?1,2,n??k,.，则分别存在气an1, an2，…，
ank,…,使得an0?a??0，即liman?a，由a?R且是任意的，知有子列anK不收敛，
与已知矛盾 ·
( 2 ) （柯西准则）数列?an?收敛的充要条件是?an?是柯西列． 证明???an?:若?an?收敛，记limn???a，则对???0，?N?0，当n,m?N时，有
an?a??2,am?a??2
于是有an?am?an?a?am?a??，即?an?是柯西列．
??:已知?an?是柯西列，下证?an?有界．对??1，?N1?0，当m?N1?1,n?N1 时
有an?am?1?an?1?aN1?1，令M?maxa1,a2,...,aN1,1?aN1?1，则对一切正整数n，均有an?K于是由致密性定理，?an?有收敛子列anK，设limank?A · 对
k?????????0，?N?0，当n,k?K时，显然
nk?k?K，于是有
an?ank?k???2ank?A??2?an?A??
即limank?A 2 ．必要条件
若数列?an?收敛，则数列?an?必有界；反之不成立．（证明从略） 3 ．充分条件
( 1 ）单调有界数列必收敛；反之不成立．（证明从略）
( 2 ) （两边夹）若bn?an?cn，且limbn?limcn?A，则liman?A. （证明从略）
n??n??n??( 3 )Stolz挂定理：数列?xn? , ?yn?满足： ①?yn?严格递增，且limyn???; ②
n??limn??xn?xn?1?l,其中l为常数或??．则有
yn?yn?1limn??xnx?xn?1?limn?l ynn??yn?yn?1a?B , b证明： ① l 为常数情形．首先给出一个简单的不等式：若A?A?ca?c?B?A??B,?b,d?0?（请读者自证） . db?d因limn??xn?xn?1?l，对???0, ?N1?0，当n?N1时，恒有
yn?yn?1l??2?xn?xn?1??l?
yn?yn?12即
xN1?1?xN1xN1?2?xN1?1x?xn?1????,,...,n??l?,l??
yN1?1?yN1yN1?2?yN?11yn?yn?1?22?注意到?yn?严格递增，利用给出的不等式得到l??2?xn?xn?1??l?，于是有
yn?yn?12?xN1?lyN1xN?lyN1?yN1??xn?xN1xn?xN1xn?????l?1??1??l??l ????ynynyn??yn?yN1ynyn?yN1??注意到上式右边第一项当n??时趋于零．故对上述的??N2?0，当n?N2时，有
xN1?lyN1yn??2，令N?max?N1,N2? ，当n?N 时，有
xnx?l??．即limn?l。
n??yynn②l???情形． 因limn??xn?xn?1???所以当n充分大时有xn?xn?1?yn?yn?1又因limyn???，必
n??yn?yn?1yn?yn?1?0，利用 ① 的结果有
xn?xn?1有limxn???，且?xn?是严格单增的，由于limn??n??limyny?0，即limn???。
n??xn??xnnl???时可类似证明．
2 . 2 求数列极限的方法
一、利用单调有界原理
说明：这类题一般都给出数列的第 n 项和第 n + 1 项的关系式，首先运用归纳法或“差法”或“比法”等方法，证明其单调性，再证明其有界性（或先证有界，再证单调）．由单调有界原理得出极限的存在性，然后对关系式取极限，解之即得．
例 2.4 设a?0，x0?0，xn?1限存在，并求之．
证明：易见xn?0，n?0,1,2,...,，所以有
1?a????xn?? , n?0,1,2,...,，证明数列?xn?的极2?xn??1?a?a?xn?1??x??x??a nn?2?xxn?n?xn?11?a????x??n??2?xn?1?x2n???xn??xn ??2?xn?1?a???x?n?2?xn??即数列?xn?单调递减有下界，极限存在。记limxn?A，对关系式xn?1?n??令n??取极限得到A?a（其中A??a?0因不合题意，舍去）
an?1?bn?12an?1bn?1证明数列?an? , ?bn?的,bn?2an?1?bn?1例 2.5 设a1?b1?0,记an?
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