习题4

《电磁学》思考题和计算题 第四章

第四章 稳 恒 磁 场

§4.1 磁的基本现象和基本规律

思考题：

1、 地磁场的主要分量是从南到北的，还是从北到南的？

答：地磁场的北极（Ｎ极）位于地理南极附近，南极（Ｓ极）位于地理北极附近，所以地磁

场的主要分量是从地理南极到地理北极。

2、 如图取直角坐标系，电流元I1dl1放在x轴上指向原点O，电流元I2dl2放在原点O处指

向Z轴。试根据安培定律回答，在下列各情形里电流元1给电流元的力dF12、以及电流元2给电流元1的力dF21，大小和方向各有什么变化？ （１） 电流元２在zx平面内转过角度θ； （２） 电流元２在yz平面内转过角度θ；

I2dl2

（３） 电流元１在xy平面内转过角度θ； （４） 电流元1在zx平面内转过角度θ. 答：根据安培定律

?????????I1d?1?r12?dF12?I2d?2?dB?r12??I2d?2?其中r电流元Id?到Id?2的矢径121123r12?????????I2d?2?r21? d F 21?I1d?1?dB?r21??I1d?1?其中r电流元Id?到Id?1的矢径212213r21z

O

x I1dl1

y

在图示情况下，dF12＝０，

22dF ?I1d ?1 2 方向沿Ｚ轴负向。 21

Id?dF ?I1d ?1 2 大小变小，且随θ不同而变化，最小值为０。（１）dF12＝０， 21

rrI2d?2sin?方向与θ有关，可沿Ｚ轴正向或沿Ｚ轴负向。

dF（２）dF12＝０， 21 ? I1 d? 1 2 大小不变，方向始终与I2dl2方向相反。

r22d?（３）dF12＝０，dF 21 ? I 1 1 2 大小变小，且随θ不同而变化，最小值为０。

I2d?2Id?sin?r 方向与θ有关，可沿Ｚ轴正向或沿Ｚ轴负向。

d? 2 （４） dF 12 ? I2 大小变小，且随θ不同而变化，最小值为０。 2rI1d?1sin? 方向沿x轴正向或负向。

2 dF 21 ? ? 2 大小始终不变，方向是在xz平面内，垂直于dl1 I1d12Id?r124

《电磁学》思考题和计算题 第四章

3、 根据安培定律证明：任意两个闭合载流回路L1和L2之间的相互作用力满足牛顿第三定律。 证明：由安培定律可知，

????????0I1d?1?r12dF12?I2d?2?B?r12??I2d?2??r3124?L??????0I1I2d?2?d?1?r12F12??dF12?3?L1?L24?r12??????????0I1I2r12?r12?d?2?3??3d?1?d?2??L1?L2?d?1?4?rr1212????????0I1I2r12???L1?L2r312d?1?d?24????r12r12?(其中?d?2?3????3ds?0)L2Sr12r12?????? 同理

?F21????0I1I2dF21?4???L1???d?1?d?2?r21?L2r3????II0124?21??L1?r21r321L2?d??1??d?2???r12??r21???F12??F21????????? （利用矢量分析公式 A?B?C?A?CB?A?BC ）

?????? 即：两个电流元之间的相互作用力不满足牛顿第三定律，但任意两个闭合载流回路L1

和L2之间的相互作用力满足牛顿第三定律。

4、 试探电流元Ｉdl在磁场中某处沿直角坐标系的x轴方向放置时不受力，把这电流元转到

＋y轴方向时受到的力沿—z方向，此处的磁感应强度Ｂ指向何方？ 答：由安培定律判断，Ｂ沿x轴正向。

―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――

§4.2 载流回路的磁场

思考题： １、

试根据毕奥—萨伐尔定律证明：一对镜像对称的电流元在对称面上产生的合磁场Ｂ

必与此面垂直。 答：

125

《电磁学》思考题和计算题 第四章

习题： １、

一条长的直输电线，载有100A的电流，在离它半米远的地方，它产生的磁感应强

度B有多大？ 解： B?２、

?0I2?r?0.4?10?4T?0.4高斯

一条很长的直载流导线，在离它1cm处产生的磁感应强度是1高斯，它所载的电流

有多大？ 解： B?３、

?0I2?r I=5A

如图所示，一条无穷长载流直导线在一处折成直角，P点在折线的延长线上，到折

点的距离为a.

（１） 设所载电流为Ｉ，求Ｐ点的Ｂ； （２） 当Ｉ＝２０Ａ，a＝2.0cm时，Ｂ＝？ 解： （１）B??0I4?r(cos?1?cos?2)?I a P ?0I4?a

?1??2,?2??

（２）B?0.4高斯 ４、

如图所示，一条无穷长直导线在一处弯成半径为R的半圆形，已知导线中的电流为

I，求圆心处的磁感应强度B。

解：圆心处的磁感强度为三部分的叠加，但长直导线部分产生的磁感强度为零。因此只有半圆形载流导线在圆心处产生磁场 B?５、

1?0I22R?Ｉ Ｒ ?0I4R

如图所示，一条无穷长直导线在一处弯折成1/4圆弧，

圆弧的半径为Ｒ，圆心在Ｏ，直线的延长线都通过圆心。已知导线中的电流为Ｉ，求Ｏ点的磁感应强度。 解：与上题同理，只有１／４圆弧在Ｏ点产生磁场 B?1?0I42R?Ｉ Ｒ ?0I8R

126

《电磁学》思考题和计算题 第四章

６、 一条无穷长的导线载有电流Ｉ，这导线弯成一抛物线形状，焦点到顶点的距离为a，

求焦点的磁感强度Ｂ。

解：抛物线在x-y坐标系中的标准方程为

y2y θ r φ a F x ?2px?4ax.

线上各电流元在焦点Ｆ产生的磁场方向都是垂直纸面向外。大小为 dB??0Idlsin?4?r2

将坐标原点移到Ｆ，x?x??a,则y2?4ax??4a2

?x??rcos?cos?12 用极坐标表示 ?，抛物线方程变为 r2?4ar?4a?0 2y?rsin?sin?sin?? 解得 r?2a1?co?s。由图示可知，dlsin??rd?，

?0Id?4?r?0dB???0I8?a(1?cos?)d?

B??0I8?a2?(1?co?s)d???0I4a

?0I8a （半支抛物线在Ｆ点产生的磁感强度为 B?７、

２

）

如图所示，两条无穷长的平行直导线相距为２a，分别载有方向相同的电流Ｉ１和Ｉ

。空间任一点Ｐ到Ｉ１的垂直距离为x1,到Ｉ２的距离为x2,求Ｐ点的磁感强度Ｂ。

解：B2?B12?B22?2B1B2cos?

?I 其中B1??0I1 B2?02 cos??2?x1x1?x2?4a2x1x22222I1⊙

2a I2⊙ B x1 B2 B1

2?x2 B?８、

?02?x1x2x2 ?I1?I2?I1x2?I2x1?4aI1I2

22??如图所示，两条无穷长的平行直导线相距为２a，载有大小相等而方向相反的电流

Ｉ。空间任一点Ｐ到两导线的垂直距离分别为x1和 x2,求Ｐ点的磁感强度Ｂ。 解：与上题同理，但

cos??cos180?0????cos????x1?x2?4a2x1x2222

I ⊙ 2a I ⊙× x1 α B1 B B2

B?a?0I?x1x2

x2 127