两角和与差的正弦、余弦和正切公式专题及解析

两角和与差的正弦、余弦和正切公式

教学目标 1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式；2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式；3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系。

知 识 梳 理

1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ. cos(α?β)＝cosαcosβ±sinαsinβ.

2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sinαcosα. cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.

3.有关公式的逆用、变形等

(1)tan α±tanβ＝tan(α±β)(1?tanαtanβ).

(3)1＋sin 2α＝(sinα＋cosα)2，1－sin 2α＝(sinα－cosα)2， π??

sinα±cosα＝2sin?α±?.

4??

4.函数f(α)＝asinα＋bcosα(a，b为常数)，可以化为f(α)＝a2＋b2sin(α＋b?a???

φ)?其中tan φ＝a?或f(α)＝a2＋b2·cos(α－φ)?其中tan φ＝b?. ????

诊 断 自 测

1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)

精彩PPT展示

(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的.( ) (2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立.( )

(3)公式tan(α＋β)＝

tan α＋tan β

可以变形为tan α＋tan β

1－tan αtan β

＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立.( ) (4)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.( )

π

解析 (3)变形可以，但不是对任意的α，β都成立，α，β，α＋β≠2＋kπ，k∈Z.

答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)√

1

2.(2016·全国Ⅲ卷)若tan θ＝－，则cos 2θ＝( )

34A.－5

1B.－5

1 C.5

4 D.5

222cosθ－sinθ1－tanθ4

解析 cos 2θ＝cos2θ－sin2θ＝22＝2＝. cosθ＋sinθ1＋tanθ5

答案 D

113.(2015·重庆卷)若tan α＝3，tan(α＋β)＝2，则tan β等于( ) 1A. 7

1B. 6

5C. 7

tan（α＋β）－tan α

1＋tan（α＋β）·tan α5

D. 6

解析 tan β＝tan[(α＋β)－α]＝112－31

＝11＝7，故选A. 1＋2×3答案 A

1?π?

4.(2017·广州调研)已知sin α＋cos α＝3，则sin2?－α?＝( )

?4?1

A.18

17 B.18

8 C.9

2 D.9

118

解析 由sin α＋cos α＝3两边平方得1＋sin 2α＝9，解得sin 2α＝－9，所以8?π?

1－cos?－2α?1＋

917?2?1－sin 2α?2?πsin?－α?＝＝＝2＝18，故选B. 22?4?答案 B

5.(必修4P137A13(5)改编)sin 347°cos 148°＋sin 77°·cos 58°＝________. 解析 sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°

＝sin(270°＋77°)cos(90°＋58°)＋sin 77°cos 58° ＝(－cos 77°)·(－sin 58°)＋sin 77°cos 58° ＝sin 58°cos 77°＋cos 58°sin 77° 2＝sin(58°＋77°)＝sin 135°＝2. 2

答案 2

考点一 三角函数式的化简

【例1】 (1)(2016·合肥模拟)cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝( ) A.sin(α＋2β) C.cos(α＋2β)

B.sin α D.cos α

α??α

?cos－sin?（1＋sin α＋cos α）·

22??

(2)化简：(0<α<π)＝________.

2＋2cos α解析 (1)cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝cos[(α＋β)－β]＝cos α.

ααα??αα??

?2cos2＋2sincos?·?cos－sin?222??22??

(2)原式＝ α4cos22αα?αα?cos2?cos2－sin2?coscos α22?2?＝＝.

?α??α??cos??cos?2?2???

απα因为0<α<π，所以0<2<2，所以cos2>0，所以原式＝cos α. 答案 (1)D (2)cos α

【训练1】 (1)2＋2cos 8＋21－sin 8的化简结果是________. 1

2cos4α－2cos2α＋2

(2)化简：＝________.

?π?2?π?2tan?－α?sin?＋α?

?4??4?

解析 (1)原式＝4cos24＋2（sin 4－cos 4）2 ＝2|cos 4|＋2|sin 4－cos 4|，

53

因为4π<4<2π，所以cos 4<0，且sin 4

(2)原式＝

?π?2×sin?－α?

?4??π?

·cos2?－α?

?4??π?

cos?－α??4?（2cos2α－1）2cos22α＝＝ ?π??π??π?4sin?－α?cos?－α?2sin?－2α?

?4??4??2?cos22α1＝＝cos 2α. 2cos 2α2

1

答案 (1)－2sin 4 (2)2cos 2α 考点二 三角函数式的求值

【例2】 (1)[2sin 50°＋sin 10°(1＋3tan 10°)]·2sin280＝________. 7πsin 2α＋2sin2α?π?317π

(2)已知cos?＋α?＝5，12<α<4，则的值为________.

1－tan α?4?11

(3)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝2，tan β＝－7，则2α－β的值为________. cos 10°＋3sin 10°解析 (1)原式＝(2sin 50°＋sin 10°·)·

cos 10°13

2cos 10°＋2sin 10°

2sin 80°＝(2sin 50°＋2sin 10°·)·

cos 10°2cos 10°＝22[sin 50°·cos 10°＋sin 10°·cos(60°－10°)] 3

＝22sin(50°＋10°)＝22×2＝6. sin 2α＋2sin2α2sin αcos α＋2sin2α(2)＝ 1－tan αsin α1－

cos α