七年级（下）数学第七周周未练习[1]

数学练习（第七周）

用数学思想解三角形题

数学思想和方法是数学基础知识、基本技能的本质体现，是形成数学能力、数学意识的桥梁，是灵活应用数学知识、技能的灵魂.因此，在解三角形题过程中准确快捷的关键是正确运用数学思想方法.这里对三角形解题时常用的分类讨论思想、整体思想、方程思想、转化思想、数形结合思想等举例予以说明，以供同学们学习参考应用.

一、分类讨论思想

由于题目的约束较弱(条件趋一般)或图形位置的变化常常使同一问题具有多种形态，因而有必要考查全面(所有不同情况)才能把握问题的实质.此种情况下应当进行适当分类，就每种情形研究讨论结论的正确性.

例1 在等腰三角形中，一腰上的中线把它的周长分为15cm和6cm两部分，求三角形各边的长. 分析:要注意等腰三角形有两边相等， 一腰上的中线把它的腰分成的两段相等.由于问题中未指明哪一段为15cm，哪一段为6cm，故需分类讨论.

解:设腰长为xcm，底边为ycm，即AB=x，则AD=CD=

11⑴ 若x+x=6时，则y+x=15.

2121由x+x=6得x=4.把x=4代入y+x=15得y=13.

22因为4+4<13，所以不能构成三角形. ⑵ 若x+由x+

1x，BC=y 2A D 11x=15时，则y+x=6. 2211x=15得x=10.把x=10代入y+x=15得y=1. 22C B 图1

10+1>10符合题意， 所以三角形三边分别为10cm、10cm、1cm.

例2 已知非直角三角形ABC中，∠A=45°，高BD和CE所在直线交于H，求∠BHC的度数. 分析:三角形的形状不同，高的交点的位置也就不同.高的交点可能在三角形内部，也可能在三角形外部，故应分两种情况加以讨论.

解:⑴当△ABC为锐角三角形时(图2)

∵BD、CE是△ABC的高， ∠A=45°， ∴∠ADB=∠BEH=90°. 在△ABD中， ∠ABD=180°-90°-45°=45°.

∵∠BHC是△BHE的外角， ∴∠BHC=90°+45°=135°. ⑵当△ABC为钝角三角形时(图3)

∵H是△ABC两条高所在直线的交点 ∠A=45°， ∴∠ABD=180°-90°-45°=45°.

在Rt△BEH中， ∠BHC=180°-90°-45°=45°. ∴∠BHC的度数是135°或45°.

B E C B E H 图2 A

D C A D 图3

H 注意：涉及三角形高的问题，常常会因为高的位置而需要讨论，否则就会漏解. 二、整体思想

研究某些数学问题时，往往不是以问题的某个组成部分为着眼点，而是将待解决的问题看作一个整体，

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数学练习（第七周）

通过研究问题的整体形式，整体结构做整体处理后，达到解决问题的目的.

例3 如图4，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数.

分析:观察图形可得，图由一个四边形和一个三角形构成，可根据四边形和三角形的内角和定理求度数

C 之和.

B D

解:因为∠A +∠C+∠E=180°，

A 又因为∠B+∠D+∠F+∠G=360°， E

G F 所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=540°.

图4

剖析:例题中若直接求出每一角的度数再求其和显然是做不到的.因此，设法整体求值是解题的关键.事实上，有些数学问题，如果从局部去考虑，拘泥于常规，则举步维艰.如果从全局着手，突破常规，则会柳暗花明.

三、方程思想

求值时，当问题不能直接求出时，一般需要设未知数继之建立方程.用解方程的方法求出结果，这也是解题中常见的具有导向作用的一种思想.

例4 如图5，在△ABC 中，∠B =∠C，∠1=∠2，∠BAD=40°.求∠EDC. 分析：利用三角形的外角性质，设法建立关于∠EDC的方程. 解:设∠EDC=x.

因为∠1是△DEC的外角，所以∠1=x+∠C. 又因为∠1=∠2，所以∠2=x+∠C.

又因为∠2是△ABD的外角，所以∠ADC=∠B+∠BAD. 所以∠B+∠BAD =∠2+x，即∠B+40°=∠C+2x. 因为∠B =∠C，所以2x=40°，解得x=20°.

剖析:方程是解决很多数学问题的重要工具，很多数学问题可以通过构造方程而获解.事实上，用设未知数的方法表示所求，可使计算过程书写简便，也易于表明角与角之间的关系.

四、转化思想

用简单、已学过的知识解决复杂、未知的知识，把复杂的问题转化为简单的问题，将陌生的问题转化为熟悉的问题来解.这种解题思想叫转化思想.

例5 如图6，求五角星各顶角之和.

分析:因为∠A、∠B、∠C、∠D、∠E较分散，本例中又不 知其度数，因此，应设法将它们集中起来，将问题转化为三角形 来处理.根据三角形外角性质和内角和定理可以求解．

解:因为∠1=∠C+∠E，∠2=∠B+∠D，

又因为∠1+∠2+∠A=180°，所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.

点拨:此题还可以连接CD求解.当我们求多个角之和不能直接计算时，应考虑转化为三角形求解. 五、数形结合思想

例6 如图7，在△ABC中，已知AD是角平分线， ∠B=60°，∠C=45°，求∠ADB和∠ADC的度数. 分析:在△ABD中，∠ADB是一个内角，它等于180°-∠B-∠BAD，故求出∠BAD即可求出∠ADB的度

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A 1 x 图5

E C 2 B D A B 1 2 E C 图6

D 数学练习（第七周）

数，这由已知条件不难求得;同理可求出∠ADC的度数.

解:在△ABC中，

∵∠B=60°， ∠C=45°， ∠B+∠C+∠BAC=180°， ∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-60°-45°=75°. 又∵AD是角平分线， ∴∠BAD=∠DAC=在△ABD中，

A 1∠BAC=37.5°. 2B D 图7

C ∠ADB=180°-∠B-∠BAD=180°-60°-37.5°=82.5°. 同理∠ADC=180°-∠C-∠DAC=180°-45°-37.5°=97.5°.

点拨:几何与代数是患难兄弟，密不可分.在求解几何题中，通常数与形要结合起来才能打开思路，进行运算.否则，一头舞水，扑朔迷离，茫然不知所措.

7.2.2 三角形的外角

一、选择题:

1.若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角,则这个三角形是( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定

2.如果三角形的一个外角和与它不相邻的两个内角的和为180°,那么与这个外角相邻的内角的度数为( )

A.30° B.60° C.90° D.120°

3.已知三角形的三个外角的度数比为2:3:4,则它的最大内角的度数为( ) A.90° B.110° C.100° D.120° 4.已知等腰三角形的一个外角是120°,则它是( )

A.等腰直角三角形; B.一般的等腰三角形; C.等边三角形; D.等腰钝角三角形 5.如图1所示,若∠A=32°,∠B=45°,∠C=38°,则∠DFE等于( )

A.120° B.115° C.110° D.105°

AAFBECDE2154F680?B

3C1140?

(1) (2) (3)

6.如图2所示,在△ABC中,E,F分别在AB,AC上,则下列各式不能成立的是( )

A.∠BOC=∠2+∠6+∠A; B.∠2=∠5-∠A; C.∠5=∠1+∠4; D.∠1=∠ABC+∠4

7.三角形的三个外角中,最多有_______个锐角. 8.如图3所示,∠1=_______.

9.如果一个三角形的各内角与一个外角的和是225°,则与这个外角相邻的内角是____度. B10.已知等腰三角形的一个外角为150°,则它的底角为_____.

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ADOCE数学练习（第七周）

11.如图所示,∠ABC,∠ACB的内角平分线交于点O,∠ABC 的内角平分线与∠ACB的外角平分线交于点D,∠ABC与∠ACB的相邻外角平分线交于点E,且∠A=60°, 则∠BOC=_______,∠D=_____,∠E=________. A12.如图所示,∠A=50°,∠B=40°,∠C=30°,则∠BDC=________.

D

13.如图所示,在△ABC中,∠A=70°,BO,CO分别平分∠ABC和∠ACB,求∠BOC的度数. BCAOB14.如图所示,在△ABC中,D是BC边上一点,∠1=∠2,∠3=∠4,∠BAC=63°, 求∠DAC的度数.

C

A1234

15.如图所示,在△ABC中,∠A=α,△ABC的内角平分线或外角平分线交于点P, 且∠P=β,试探求下列各图中α与β的关系,并选择一个加以说明.

BDCAAAPPB(1)CB(2)CBCP(3)

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