挑战高考数学压轴题之圆锥曲线与方程

挑战高考压轴题之圆锥曲线与方程

（选自2010，2011，2012，2013，2014全国各地高考压轴题） 简单：★，中等：★★，难：★★★ 一、圆锥曲线中的定值问题 ★★椭圆C：x2y23，a＋b＝3． 2＋2＝1（a＞b＞0）的离心率e＝ab2（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）如图，A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意点，直线DP交x轴于点N直线AD交BP于点M，设BP的斜率为k，MN的斜率为m，证明2m－k为定值．

x2y231★★如图，椭圆C：2＋2＝1（a＞b＞0）经过点P（1，），离心率e＝，直ab22线l的方程为x＝4． （Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3．问：是否存在常数λ，使得k1＋k2＝λk3？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．

x2y23★★椭圆C：2＋2＝1（a＞b＞0）的左右焦点分别是F1，F2，离心率为，ab2过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1． （Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1，PF2，设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M（m，0），求m的取值范围；

（Ⅲ）在（2）的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点，设直线PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，若k≠0，试证明11＋为定值，并求出这个定值． kk1kk2x2★★★如图，已知双曲线C：2－y2＝1（a＞0）的右焦点为F，点A，B分别在

aC的两条渐近线AF⊥x轴，AB⊥OB，BF∥OA（O为坐标原点）． （Ⅰ）求双曲线C的方程；

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挑战高考压轴题之圆锥曲线与方程

（选自2010，2011，2012，2013，2014全国各地高考压轴题） 简单：★，中等：★★，难：★★★ （Ⅱ）过C上一点P（x0，y0）（y0≠0）的直线l：x0x－y0y＝1与直线AF相a23|MF|交于点M，与直线x＝相交于点N．证明：当点P在C上移动时，恒为2|NF|定值，并求此定值．

二、圆锥曲线中的最值问题

x2y23★★在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：2＋2＝1（a＞b＞0）的离心率为，ab2直线y＝x被椭圆C截得的线段长为（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）过原点的直线与椭圆C交于A，B两点（A，B不是椭圆C的顶点）．点D在椭圆C上，且AD⊥AB，直线BD与x轴、y轴分别交于M，N两点． （i）设直线BD，AM的斜率分别为k1，k2，证明存在常数λ使得k1＝λk2，并求出λ的值；

（ii）求△OMN面积的最大值．

★★已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有|FA|＝|FD|．当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形． （Ⅰ）求C的方程；

（Ⅱ）若直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E， （ⅰ）证明直线AE过定点，并求出定点坐标；

（ⅱ）△ABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．

x2y2

★★★如图，O为坐标原点，椭圆C1：2＋2＝1（a＞b＞0）的左、右焦

abx2y2

点分别为F1，F2，离心率为e1；双曲线C2：2－2＝1的左、右焦点分

ab别为F3，F4，离心率为e2，已知e1e2＝（Ⅰ）求C1、C2的方程；

（Ⅱ）过F1作C1的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点，当直线OM与C2交于P，Q两点时，求四边形APBQ面积的最小值．

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3，且|F2F4|＝3－1． 2410． 5挑战高考压轴题之圆锥曲线与方程

（选自2010，2011，2012，2013，2014全国各地高考压轴题） 简单：★，中等：★★，难：★★★

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★★★如图，点P（0，－1）是椭圆C1：2＋2＝1（a＞b＞0）的一个顶点，

abC1的长轴是圆C2：x2＋y2＝4的直径，l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中l1交圆C2于A、B两点，l2交椭圆C1于另一点D． y （Ⅰ）求椭圆C1的方程； （Ⅱ）求△ABD面积的最大值时直线l1的方程． A 2l1 D O P B x l2 ★★★在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线C：x＝2py（p＞0）的焦点，M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点，过M，F，O三点的圆的圆心3为Q，点Q到抛物线C的准线的距离为． 4（Ⅰ）求抛物线C的方程；

（Ⅱ）是否存在点M，使得直线MQ与抛物线C相切于点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由；

1（Ⅲ）若点M的横坐标为2，直线l：y＝kx＋与抛物线C有两个不同的41交点A，B，l与圆Q有两个不同的交点D，E，求当≤k≤2时，|AB|2＋|DE|22的最小值．

三、圆锥曲线与过定点（定直线）问题

x2y2

★★设椭圆E：2＋＝1的焦点在x轴上．

a1－a2（Ⅰ）若椭圆E的焦距为1，求椭圆E的方程；

（Ⅱ）设F1，F2分别是椭圆E的左、右焦点，P为椭圆E上第一象限内的点，直线F2P交y轴于点Q，并且F1P⊥F1Q，证明：当a变化时，点P在某定直线上．

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（选自2010，2011，2012，2013，2014全国各地高考压轴题） 简单：★，中等：★★，难：★★★ 四、圆锥曲线与求参数

★★在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，短轴长为2，离心率为（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）A，B为椭圆C上满足△AOB的面积为6的任意两点，E为线段42． 2→→

AB的中点，射线OE交椭圆C与点P，设OP＝tOE，求实数t的值． ★★★已知三点O（0，0），A（－2，1），B（2，1），曲线C上任意一点M（x，→→→→→

y）满足|MA＋MB|＝OM·(OA+OB)＋2． （Ⅰ）求曲线C的方程；

（Ⅱ）动点Q（x0，y0）（－2＜x0＜2）在曲线C上，曲线C在点Q处的切线为l向：是否存在定点P（0，t）（t＜0），使得l与PA，PB都不相交，交点分别为D，E，且△QAB与△PDE的面积之比是常数？若存在，求t的值．若不存在，说明理由． 五、存在性问题

x2y222★★如图，已知椭圆2＋2＝1（a＞b＞0）过点(1，)，离心率为，左、右ab22焦点分别为F1、F2．点P为直线l：x＋y＝2上且不在x轴上的任意一点，直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D，O为坐标原点． （Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）设直线PF1、PF2的斜线分别为k1、k2． ①证明：13－＝2； k1 k2②问直线l上是否存在点P，使得直线OA、OB、OC、OD的斜率kOA、kOB、kOC、kOD满足kOA＋kOB＋kOC＋kOD＝0？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．

x2y23★★★如图，椭圆C1：2＋2＝1（a＞b＞0）的离心率为，x轴被曲线C2：yab2

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（选自2010，2011，2012，2013，2014全国各地高考压轴题）

简单：★，中等：★★，难：★★★

＝x2－b截得的线段长等于C1的长半轴长． （Ⅰ）求C1，C2的方程；

（Ⅱ）设C2与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C2相交于点A、B，直线MA，MB分别与C1相交于D，E． （i）证明：MD⊥ME；

（ii）记△MAB，△MDE的面积分别是S1，S2．问：是否存在直线l，使得请说明理由． 六、轨迹方程

x2y2

★★已知椭圆C：2＋2＝1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1（－1，0），

ab41F2（1，0），且椭圆C经过点P（，）． 33（Ⅰ）求椭圆C的离心率；

（Ⅱ）设过点A（0，2）的直线l与椭圆C交于M，N两点，点Q是线段MN上的点，且211，求点Q的轨迹方程． 2＝2＋|AQ||AM||AN|2S117＝？S232★★如图，抛物线C1：x2＝4y，C2：x2＝－2py（p＞0），点M（x0，y0）在抛物线C2上，过M作C1的切线，切点为A，B（M为原点O时，A，1B重合于O），当x0＝1－2时，切线MA的斜率为－． 2（Ⅰ）求p的值；

（Ⅱ）当M在C2上运动时，求线段AB中点N的轨迹方程（A，B重

y 合于O时，中点为O）．

A B O M x

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