运用均值不等式解题的变形技巧

运用均值不等式解题的变形技巧

陕西汉中241信箱405学校 侯有岐 利用均值不等式解题的关键是凑 “定和” 和“定积”，此时往往

需要采用“拆项、补项、平衡系数”等变形技巧找到定值，再利用均值不等式来求解，使复杂问题简单化，收到事半功倍的效果．

一、 拆项

4例1（原人教版课本习题）已知n>0，求证：n?2?3

n证明：因为 n>0

所以 n+4nn4nn43????3???3 n222n222n2 当且仅当n=2 时等号成立．

二、 拆幂

例2（1993年全国高考题）如果圆柱轴截面的周长l为定值，那么 圆柱体积的最大值是（ ）

1?l??l??l??l?（A）??? (B) ??? (C) ??? (D) ???

4?4??6??3??4?3333解：设圆柱底面半径为r,高为h, 则2h?4r?l, 即h?2r??l?l?h??l?v??rh??r?r?h????????, 故选(A)．

?3??6?233l 2三、 升幂

???例3 设 x??0,?, 求y=sin2x?cosx 的最大值．

?2????解: ? x??0,?, ? y=sin2x?cosx?0?2? ? y2?sin4x?cos2x 11 =4(sin2x?sin2x?cos2x)221212sinx+sinx+cos2x42 ?4(2)3 =327 ? y?231 , 当且仅当 sin2x=cos2x,9223.9

即 tan2x=2时等号成立,故ymax?4、整体代换

11例4 已知x,y?R?,且x?2y?1, 求证：??3?22 xy证明： ? x,y?R?, x+2y=1,11112yx ?? =(x+2y) (?) =3+?xyxyxy2yx ?3?2??3?22xy 当且仅当 2yx2＝ 即 x?2?1,y?1?时等号成立xy2

5、平衡系数

例5 用总长14.8米的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5米，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积．

解：设容器底面短边长为x米，则另一边长为（x+0.5）米，并设

14.8?4x?4(x?0.5)容积为 y米3,其中容器的高为?3.2?2x

4从而 y?x(x?0.5)(3.2?2x) (0

6、分离取倒数 例6 求函数y=解: y?x+1 (x>-1)的最大值.

(x+5)(x+2)x?1x?11 ==(x?5)(x?2)(x?1)2?5(x?1)?4(x+1)+4?5x+1? x>-1? x+1>0?144?(x?1?)??52x?(?1)??59yx?1x?1 1?y?941当且仅当 x?1? 即 x=1 时取等号,故ymax?x?197、换元 例7 求函数y=x+2 的最大值 2x+5解: 令 t?x?2, 则 x?t2?2 (t?0), y= 当 t=0时, y=0; 当 t>0时, y=12t+1t?122t?1t?24t2t?12 (t?0)

12 当且仅当 2t=, 即 t=时取等号t232 ? x??时函数取最大值.24 总之，我们利用均值不等式求最值时，一定要注意“一正二定 三等”，同时还要注意一些变形技巧，灵活运用均值不等式．