2018年江苏省扬州市江都区中考数学一模试卷（解析版）

25．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点F，C是⊙O上两点，且点C是中点，连接AC，AF，过点C作CD⊥AF，垂足为点D． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若AB=10，AC=8，求DC的长．

的

【考点】ME：切线的判定与性质；M2：垂径定理．

【分析】（1）连接OC，根据等弧所对的圆周角定理得到∠FAC=∠BAC，根据平行线的性质、切线的判定定理证明；

（2）连接BC，证明△DAC∽△CAB，根据相似三角形的性质求出AD，根据勾股定理计算即可．

【解答】（1）证明：如图1，连接OC， ∵C是∴

=

的中点， ，

∴∠FAC=∠BAC， ∵OA=OC， ∴∠OCA=∠BAC， ∴∠FAC=∠OCA， ∴AD∥OC， ∵CD⊥AF，

∴CD⊥OC，即CD是⊙O的切线； （2）解：如图2，连接BC， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°，

∴∠D=∠ACB，又∠DAC=∠CAB， ∴△DAC∽△CAB，

∴=，

=6.4，

=4.8．

解得，AD=

在Rt△ADC中，CD=

【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理的应用，掌握切线的判定定理、相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．

26．（10分）已知二次函数y=x2+bx﹣3（b是常数）

（1）若抛物线经过点A（﹣1，0），求该抛物线的解析式和顶点坐标； （2）P（m，n）为抛物线上的一个动点，P关于原点的对称点为P′，当点P′落在该抛物线上时，求m的值；

（3）在﹣1≤x≤2范围内，二次函数有最小值是﹣6，求b的值．

【考点】H8：待定系数法求二次函数解析式；H3：二次函数的性质；H5：二次函数图象上点的坐标特征；H7：二次函数的最值；R6：关于原点对称的点的坐标．

【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式，根据配方法把一般式化为顶点式，求出顶点坐标；

（2）根据关于原点对称的点的坐标特点求出点P′的坐标，代入解析式，计算即可；

（3）分﹣1≤﹣≤2、﹣＞2、﹣＜﹣1三种情况，根据二次函数的性质计

算即可．

【解答】解：（1）∵抛物线经过点A（﹣1，0）， ∴（﹣1）2﹣b﹣3=0， 解得，b=﹣2，

则抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3； y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2+4， ∴顶点坐标为（1，﹣4）；

（2）由题意得，点P′的坐标为（﹣m，﹣n）， 则m2+mx﹣3=n，m2﹣mx﹣3=﹣n， 两式相加得，2m2=6， 解得，m=±

；

=﹣6，

（3）①当﹣1≤﹣≤2，即﹣4≤b≤2时，整理得，b2=12， 解得，b=2

（舍去），b=﹣2

；

②当﹣＞2，即b＜﹣4时，x=2时，y有最小值， 则4+2b﹣3=﹣6， 解得，b=﹣（舍去）；

③当﹣＜﹣1，即b＞2时，x=﹣1时，y有最小值， 则1﹣b﹣3=﹣6， 解得，b=4， 综上所述，当b=﹣26．

【点评】本题考查的是二次函数的性质、待定系数法求函数解析式、关于原点对

称的点的坐标特点，掌握二次函数的性质、灵活运用待定系数法是解题的关键．

或b=4时，在﹣1≤x≤2范围内，二次函数有最小值是﹣

27．（12分）如图1，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为2cm/s．以AQ、PQ为边作?AQPD，连接DQ，交AB于点E．设

运动的时间为t（单位：s）（0＜t≤4）．解答下列问题： （1）用含有t的代数式表示AE= 5﹣t ． （2）如图2，当t为何值时，?AQPD为菱形． （3）求运动过程中，?AQPD的面积的最大值．

【考点】LO：四边形综合题．

【分析】（1）首先利用勾股定理求得AB=10，然后表示出AP，利用平行四边形对角线互相平分表示出线段AE即可； （2）利用菱形的对角线相互垂直平分解答；

（3）如图3中，设平行四边形AQPD的面积为S，作PM⊥AC于M．利用相似三角形的性质求出PM，根据S=AQ?PM根据二次函数即可解决问题； 【解答】解：（1）如图1，

∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm． ∴由勾股定理得：AB=10cm，

∵点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度均为2cm/s， ∴BP=2tcm，

∴AP=AB﹣BP=10﹣2t，

∵四边形AQPD为平行四边形， ∴AE=AP=5﹣t； 故答案是：5﹣t；