第四讲《垂直关系的证明》

垂直关系的判定与性质

一、知识梳理

(2)两直线垂直的判定

①定义：若两直线成90°角，则这两直线互相垂直.

②一条直线与两条平行直线中的一条垂直，也必与另一条垂直.即若b∥c,a⊥b,则a⊥c

③一条直线垂直于一个平面，则垂直于这个平面内的任意一条直线.即若a⊥α,b?α，a⊥b. ④三垂线定理和它的逆定理：在平面内的一条直线，若和这个平面的一条斜线的射影垂直，则它也和这条斜线垂直.

⑤如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与这个平面的垂线垂直.即若a∥α,b⊥α,则a⊥b. ⑥三个两两垂直的平面的交线两两垂直，即若α⊥β,β⊥γ，γ⊥α,且α∩β=a,β∩γ=b,γ∩α=c，则a⊥b,b⊥c,c⊥a.

(4)直线与平面垂直的判定

①定义：若一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，则这条直线和这个平面垂直.

②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.即若m?α，n?α，m∩n=B,l⊥m,l⊥n,则l⊥α.

③如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一平面.即若l∥a,a⊥α,则l⊥α.

④一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面，即若α∥β,l⊥β，则l⊥α. ⑤如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面，即若α⊥β,a∩β=α，l?β，l⊥a,则l⊥α.

⑥如果两个相交平面都垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面，即若α⊥γ,β⊥γ,且a∩β=α,则a⊥γ.

(6)两平面垂直的判定

①定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，那么这两个平面互相垂直，即二面角α－a－β=90°?α⊥β.

②如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直，即若l⊥β,l?α，则α⊥β. ③一个平面垂直于两个平行平面中的一个，也垂直于另一个.即若α∥β，α⊥γ，则β⊥γ.

二、典例精析

考点一：线面垂直的判定及性质

例1：如图所示，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点， AP⊥面BP于E，AF⊥CP于F. 求证：BP⊥平面AEF

ABC，AE⊥

(2009·北京)如图，四面体ABCD中，O是BD的中点，BCD均为等边三角形，AB=2,AC=6.求证：AO⊥平面BCD.

△ABD和△

考点二：面面垂直的判定及性质

例2：如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是∠DAB=600且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其

所在平面垂直于底面ABCD,若G为AD边的中点. （1）求证：BG⊥平面PAD （2）求证：AD⊥PB （3）若E为BC边的中点，能否在棱PC上找一点F,使平面DEFABCD？并证明你的结论.

⊥平面

即时训练 在斜三棱柱A1B1C1?ABC中，底面是等腰三角形，AB=AC,侧面BB1C1C⊥底面ABC. （1）若D是BC的中点，求证：AD⊥CC1

（2）过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于M，若AM=MA1,求证：截面MBC1⊥侧面BB1C1C.

考点三：平行、垂直关系的综合应用

例3 如图1，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD，∠ABC＝60°，E是BC的中点．如图2，将△ABE沿AE折起，使二面角B－AE－C成直二面角，连结BC，BD，F是CD的中点，P是棱BC的中点．

(1)求证：AE⊥BD；

(2)求证：平面PEF⊥平面AECD；

(3)判断DE能否垂直于平面ABC，并说明

理由．

2、 如图所示，直三棱柱ABC—A1B1C1中，B1C1=A1C1，AC1M、N分别是A1B1、AB的中点．

(1)求证：C1M⊥平面A1ABB1；(2)求证：A1B⊥AM；

(3)求证：平面AMC1∥平面NB1C；(4)求A1B与B1C所成的角

⊥A1B，

3、 如图①，长方形ABCD中，BC＝3，AB＝6，把它折成正三棱柱的侧面(如图②)，使AD与BC重合，长方形的对角线AC与折痕线EF、GH分别交于M、N，连结AN. (1)求多面体AMND的体积； (2)求证：平面DMN⊥侧面ADFE.

三、模拟演练

1．(2010年宁波十校联考)设b、c表示两条直线，α，β表示两个平面，则下列命题是真命题的是________．

①若b?α，c∥α，则b∥c ②若b?α，b∥c，则c∥α ③若c∥α，α⊥β，则c⊥β ④若c∥α，c⊥β，则α⊥β

解析：①中，b，c亦可能异面；②中，也可能是c?α；③中，c与β的关系还可能是斜交、平行或c?β；④中，由面面垂直的判定定理可知正确．

答案：④

2．(2010年青岛质检)已知直线l⊥平面α，直线m?平面β，下面有三个命题：

①α∥β?l⊥m；②α⊥β?l∥m；③l∥m?α⊥β.则真命题的个数为________．

解析：对于①，由直线l⊥平面α，α∥β，得l⊥β，又直线m?平面β，故l⊥m，故①正确；对于②，由条件不一定得到l∥m，还有l与m垂直和异面的情况，故②错误；对于③，显然正确．故正确命题的个数为2.答案：2个

3．(2009年高考山东卷改编)已知α、β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β ”是“m⊥β ”的________条件．

解析：由平面与平面垂直的判定定理知如果m为平面α内的一条直线，m⊥β，则α⊥β，反过来则不一定．所以“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件．

答案：必要不充分

4．(2009年高考浙江卷)如图，在长方形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E为DC的中点，F为线段EC(端点除外)上一动点．现将△AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABC.在平面ABD内过点D作DK⊥AB，K为垂足．设AK＝t，则t的取值范围是________．

解析：如图，过D作DG⊥AF，垂足为G，连结GK，∵平面ABD⊥平面ABC，又DK⊥AB， ∴DK⊥平面ABC，∴DK⊥AF. ∴AF⊥平面DKG，∴AF⊥GK. 容易得到，当F接近E点时，K接近AB的中点，当F接近C点时，K

11

接近AB的四等分点．∴t的取值范围是(，1)．答案：(，1)

22

5．(原创题)已知a、b为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，且a⊥α，b⊥β，则下列命题中假命题的有________．

①若a∥b，则α∥β；②若α⊥β，则a⊥b；③若a、b相交，则α、β相交；④若α、β相交，则a，b相交．

解析：若α、β相交，则a、b既可以是相交直线，也可以是异面直线． 答案：④

6．(2009年高考山东卷)如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝4，BC＝CD＝2，AA1＝2，E，E1分别是棱AD，AA1的中点．

(1)设F是棱AB的中点，证明：直线EE1∥平面FCC1； (2)证明：平面D1AC⊥平面BB1C1C.

C1F1. 证明：(1)法一：取A1B1的中点为F1，连结FF1，由于FF1∥BB1∥CC1，

所以F1∈平面FCC1.

因此平面FCC1即为平面C1CFF1. 连结A1D，F1C，

由于A1F1綊D1C1綊CD，

所以四边形A1DCF1为平行四边形， 因此A1D∥F1C.又EE1∥A1D， 得EE1∥F1C.

而EE1?平面FCC1，F1C?平面FCC1， 故EE1∥平面FCC1.

法二：因为F为AB的中点， CD＝2，AB＝4，AB∥CD， 所以CD綊AF，

因此四边形AFCD为平行四边形， 所以AD∥FC.

又CC1∥DD1，FC∩CC1＝C，FC?平面FCC1，CC1?平面FCC1，AD∩DD1＝D，AD?平面ADD1A1，DD1?平面ADD1A1.

所以平面ADD1A1∥平面FCC1.

FCC1. 又EE1?平面ADD1A1，所以EE1∥平面

(2)连结AC，在△FBC中，FC＝BC＝FB， 又F为AB的中点，所以AF＝FC＝FB. 因此∠ACB＝90°，即AC⊥BC. 又AC⊥CC1，且CC1∩BC＝C， 所以AC⊥平面BB1C1C. 而AC?平面D1AC，

故平面D1AC⊥平面BB1C1C.

7．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则能得出a⊥b的是____．

①a⊥α，b∥β，α⊥β ②a⊥α，b⊥β，α∥β ③a?α，b⊥β，α∥β ④a?α，b∥β，α⊥β