[精编版]2010年中考数学试题分类汇编 - 直角三角形与勾股定理（含详解答案）

2010年中考数学试题分类汇编

直角三角形与勾股定理

1.（2010年四川省眉山市）下列命题中，真命题是 A．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 B．等腰梯形既是轴对称图形又是中心对称图形 C．圆的切线垂直于经过切点的半径 D．垂直于同一直线的两条直线互相垂直

【关键词】真命题、假命题 【答案】C

2．（2010年四川省眉山市）如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为 AA．90° B．60° C．45° D．30° 【关键词】勾股定理及其逆定理 【答案】C

3.（2010年辽宁省丹东市）图①是一个边长为(m?n)的正方形，小颖将 图①中的阴影部分拼成图②的形状，由图①和图② 能验证的式子是（ ）

A．(m?n)2?(m?n)2?4mn B．(m?n)2?(m2?n2)?2mn C．(m?n)2?2mn?m2?n2 D．(m?n)(m?n)?m2?n2 【关键词】正方形、勾股定理 【答案】B

n← m→→ ←CB mnmn图①

第4题图

图②

4．（2010浙江省喜嘉兴市）如图，已知C是线段AB上的任意一点（端点除外），分别以

AC、BC为斜边并且在AB的同一侧作等腰直角△ACD和△BCE，连结AE交CD于点M，连

1111结BD交CE于点N，给出以下三个结论：①MN∥AB；②＝＋；③MN≤AB，

4MNACBC其中正确结论的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【关键词】等腰直角三角形 【答案】D

（第10题）

5、 (2010福建泉州市惠安县)矩形纸片ABCD的边长AB=4，AD=2．将矩形纸片沿EF折叠，使点A与点C重合，折叠后在其一面着色（如图），则着色部分的面积为_____________.

G D F C A 【关键词】折叠 【答案】5.5

E 第16题图

B

6、(2010福建泉州市惠安县)如图，长方体的底面边长分别为1cm 和3cm，高为6cm． ①如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，

B

那么所用细线最短需要__________cm；

②如果从点A开始经过4个侧面缠绕3圈到达点B， 那么所用细线最短需要__________cm．

【关键词】勾股定理 【答案】① 10， ② 617

7、(2010年燕山)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AC， ∠B＝45°, AD＝1，BC＝4，求DC的长．

B C

6cm

1cm 3cm 第17题图

A D

A

【关键词】等腰三角形的性质、直角三角形斜边的中线的性质、勾股定理 【答案】如图1，分别过点A、D作AE⊥BC于点E ，

DF⊥BC于点F． ????????????1分 ∴ AE // DF．又 AD // BC， ∴ 四边形AEFD是矩形．

∴EF=AD=1． ??????????????2分 ∵ AB⊥AC，∠B=45°，BC= 4， ∴ AB=AC．

图1 1∴ AE=EC=BC= 2． ???????????3分

2∴ DF=AE= 2，

CF=EC-EF= 1． ???????????4分 在Rt△DFC中，∠DFC=90°，

∴DC=DF2?CF2?5. ??????????5分

8、（2010年宁德市）（本题满分13分）如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连

接EN、AM、CM.

⑴ 求证：△AMB≌△ENB；

⑵ ①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；

②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由； ⑶ 当AM＋BM＋CM的最小值为3?1时，求正方形的边长.

【答案】解：⑴∵△ABE是等边三角形，

∴BA＝BE，∠ABE＝60°. ∵∠MBN＝60°，

∴∠MBN－∠ABN＝∠ABE－∠ABN. 即∠BMA＝∠NBE. 又∵MB＝NB，

∴△AMB≌△ENB（SAS）.

⑵①当M点落在BD的中点时，AM＋CM的值最小. ②如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时， AM＋BM＋CM的值最小. ??????9分 理由如下：连接MN.由⑴知，△AMB≌△ENB， ∴AM＝EN.

∵∠MBN＝60°，MB＝NB， ∴△BMN是等边三角形. ∴BM＝MN.

∴AM＋BM＋CM＝EN＋MN＋CM.

根据“两点之间线段最短”，得EN＋MN＋CM＝EC最短

∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM＋BM＋CM的值最小，即等于EC的长. ⑶过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F， ∴∠EBF＝90°－60°＝30°. 设正方形的边长为x，则BF＝在Rt△EFC中，

222

∵EF＋FC＝EC， ∴（

x232）＋（x＋x）＝22F E N A D E M B C N A D M B C

x3x，EF＝. 22?3?1?.

2解得，x＝2（舍去负值）. ∴正方形的边长为2.

9、（2010年广东省广州市）如图所示，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3，

0），（0，1），点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线y＝－

1x＋b交折线OAB于点E． 2（1）记△ODE的面积为S，求S与b的函数关系式； （2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形OA1B1C1，

试探究OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由.

y C O 【关键词】轴对称 四边形 勾股定理

【答案】（1）由题意得B（3，1）．

D B E A x

y3 25若直线经过点B（3，1）时，则b＝

2若直线经过点A（3，0）时，则b＝若直线经过点C（0，1）时，则b＝1

17.若直线与折线OAB的交点在OA上时，即1＜b≤

yDDCEOBAx图1 3，如图25-a， 2CBEOAx图2

此时E（2b，0）

∴S＝

11OE·CO＝×2b×1＝b 2235＜b＜，如图2 22②若直线与折线OAB的交点在BA上时，即

此时E（3，b?3），D（2b－2，1） 2∴S＝S矩－(S△OCD＋S△OAE ＋S△DBE )