2018-2019学年浙江省温州市瑞安中学高一(下)期中数学试卷 Word版含解析

考点： 平面向量数量积的运算． 专题： 平面向量及应用． 分析： 首先通过方，展开求出范围． 解答： 解：∵非零向量∴所以所以当且仅当∴所以1＜2所以

+1≤3 的取值范围为（1，

]；

．

=1时取等号．

=2

+1，

=1，

，

的交角为60，且

0

=1平方后结合基本不等式得到．然后将平

，

故答案为：．

点评： 本题考查了向量的数量积定义及其运算性质、基本不等式的性质，考查了推理能力和计算能力，属于难题

三、解答题：（本大题共5小题，共74分） 16．（15分）（2015春?瑞安市校级期中）已知{an}是等差数列，其中a1=13，a4=7 （1）求{an}的通项；

（2）数列{an}前多少项和最大？最大和为多少？ （3）求|a1|+|a3|+|a5|+|a7|+|a9|+|a11|值．

考点： 数列的求和；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和． 专题： 等差数列与等比数列．

分析： （1）根据等差数列的定义求出公差，即可求{an}的通项； （2）根据数列{an}前n项公式结合一元二次函数的性质即可得到结论． （3）结合等差数列的通项公式进行求和． 解答： 解：（1）∵a1=13，a4=7， ∴3d=a4﹣a1=7﹣13=﹣6， ∴d=﹣2

∴an=13﹣2（n﹣1）=15﹣2n…（5分） （2）∵

∴当n=7时，sn取最大值s7=49…（10分） （3）当n≤7时，an＞0，当n＞7，an＜0，

，

|a1|+|a3|+|a5|+…+|a11|=13+9+5+1+3+7=38…（15分）．

点评： 本题主要考查等差数列的通项公式和前n项和的求解，考查学生的计算能力． 17．（15分）（2015春?瑞安市校级期中）在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a，b，c，A=

，cosB=

（1）求sinC的值；

（2）若2c=b+2，求三边a，b．c的长，并求△ABC的面积．

考点： 余弦定理；正弦定理． 专题： 解三角形．

分析： （1）利用两角和差的正弦公式即可求sinC的值；

（2）根据正弦定理求出a，b，c的值，结婚三角形的面积公式进行求解， 解答： 解（1）∵A=∴

（2）∵cosB= ∴sinB=则

设a=7k，b=8k，c=5k，由2c=b+2得：10k=8k+2，k=1 所以a=7，b=8，c=5， 则

．

，

，cosB=，

．

点评： 本题主要考查解三角形的应用，根据正弦定理以及三角形的面积公式是解决本题的关键．

18．（14分）（2015春?瑞安市校级期中）如图所示B岛在A岛南偏东75方向，距离A岛

0

海里，A岛观察所发现在B岛正北方向与A岛的北偏东60方向的交点处D有海上非法走私交易活动，A岛观察人员马上通知在B岛东北方向，距离B岛7海里C处的缉私艇在半小时内赶到D处，求缉私艇的速度至少每小时多少海里？

0

考点： 解三角形的实际应用；正弦定理． 专题： 解三角形．

分析： 根据正弦定理和余弦定理结合三角形的边角关系进行求解即可．

解答： 解：在△ABD中，∠DAB=180°﹣60﹣75=45， ∠ADB=60°，AB=4， 由正弦定理得：在△BDC中，

…（6分）

，∠DBC=45°，

…（12分）

海里/小时，缉私艇的速度至少每小时10海里．…（14分）

点评： 本题主要考查解三角形的应用，根据正弦定理和余弦定理建立方程关系是解决本题的关键． 19．（15分）（2015春?瑞安市校级期中）如图所示，已知四边形ABCD是矩形，M，N分别是AD，BC的中点，P是CD上一点，Q是AB上一点，PM与QN交于R，A是原点，B（2，0），C（2，1），D（0，1），P（t，1），Q（t，0）， （1）若

，求t的值

000

（2）求证：R，A，C三点共线．

考点： 平面向量的综合题；平行向量与共线向量；平面向量的坐标运算． 专题： 平面向量及应用． 分析： （1）求出相关向量，利用（2）R，M，P三点共线，设出组求解证明即可． 解答： 解：（1）

…

（3分 ）

，所以

，

…（6分） ，求解即可．

，R，N，Q三点共线，可设

，然后列出方程

（2）R，M，P三点共线，可设，

所以所以

R，N，Q三点共线，可设，

…（10分）

根据平面向量的基本定理得：，解得：

所以=

所以R，A，C三点共线．…（15分）

点评： 本题考查向量的应用，向量共线与垂直条件的应用，考查计算能力．

20．（15分）（2015春?瑞安市校级期中）已知函数 f（x）=

（x∈R）．

，

（1）若a=﹣1，解方程f（x）=1；

（2）若函数f（x）在R上单调递增，求实数a的取值范围；

（3）若a＜1且不等式f（x）≥2x﹣3对一切实数x∈R恒成立，求a的取值范围．

考点： 函数恒成立问题；函数的最值及其几何意义．

专题： 函数的性质及应用；不等式的解法及应用；平面向量及应用．

分析： （1）求出a=﹣1的函数f（x）的解析式，去绝对值，解方程即可得到；

（2）将f（x）写成分段函数的形式，由二次函数的对称轴和区间的关系，解不等式即可得到所求范围；

（3）设g（x）=f（x）﹣（2x﹣3），不等式f（x）≥2x﹣3对一切实数x∈R恒成立，等价于不等式g（x）≥0对一切实数x∈R恒成立．求出x＜a和x≥a的值域，求得最小值，解不等式，即可得到所求范围． 解答： 解：f（x）=

=x+（x﹣1）|x﹣a|（x∈R）．

22

（1）当a=﹣1时，故有f（x）=x+（x﹣1）|x+1|， 即有

2

，

当x≥﹣1时，由f（x）=1，有2x﹣1=1，解得x=1或x=﹣1，