[最新]人教A版高中数学必修5同步辅导与检测：第二章2.3第1课时数列的前n项和与等差数列的前n项和含答案解析

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2.3 等差数列的前n项和

第1课时数列的前n项和与等差数列的前n项和

A级 基础巩固

一、选择题

1．在等差数列{an}中，S10＝120，那么a1＋a10的值是( ) A．12 B．24 C．36 D．48

10（a1＋a10）S10120

解析：由S10＝，得a1＋a10＝＝＝24.

255答案：B

2．在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为( ) A．765 B．665 C．763 D．663

解析：因为a1＝2，d＝7，2＋(n－1)×7<100，

1

所以n<15，所以n＝14，S14＝14×2＋×14×13×7＝665.

2答案：B

3．现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为( )

A．9 B．10 C．19 D．29

解析：钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个．

n（n＋1）

所以钢管总数为：1＋2＋3＋…＋n＝.

2当n＝19时，S19＝190.当n＝20时，S20＝210>200. 所以n＝19时，剩余钢管根数最少，为10根． 答案：B

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4．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S4＝40，Sn＝210，Sn－4

＝130，则n＝( )

A．12 B．14 C．16 D．18

解析：因为Sn－Sn－4＝an＋an－1＋an－2＋an－3＝80，S4＝a1＋a2＋n（a1＋an）

a3＋a4＝40，所以4(a1＋an)＝120，a1＋an＝30，由Sn＝＝

2210，得n＝14.

答案：B

a55S95．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则等于( )

a39S51

A．1 B．－1 C．2 D. 2

9

（a1＋a9）

9×2a59a595S92

解析：＝＝＝＝×＝1.

S555×2a35a359

（a1＋a5）2答案：A 二、填空题

6．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a6＝S3＝12，则{an}的通项an＝________．

解析：设等差数列首项为a1，公差为d，

?a1＋5d＝12，??a1＋5d＝12，则?即? 3×2

?

?3a1＋2d＝12，?a1＋d＝4，

??a1＝2，所以?所以an＝a1＋(n－1)d＝2n.

??d＝2，

答案：2n

7．一个等差数列前12项的和为354，其中项数为偶数的项的和与项数为奇数的项的和之比为32∶27，则公差d＝________．

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解析：S12＝354，

27

所以S奇＝354×＝162，

32＋2732

S偶＝354×＝192，

32＋27所以S偶－S奇＝30＝6d， 所以d＝5. 答案：5

8．已知数列{an}的通项公式为an＝2n－30，Sn是{|an|}的前n项和，则S10＝________．

解析：an＝2n－30，令an＜0，得n＜15，即在数列{an}中，前14项均为负数，

所以S10＝－(a1＋a2＋a3＋…＋a10)＝ 10

－(a1＋a10)＝－5[(－28)＋(－10)]＝190. 2答案：190 三、解答题

9．等差数列{an}中，a10＝30，a20＝50. (1)求数列的通项公式； (2)若Sn＝242，求n.

解：(1)设数列{an}的首项为a1，公差为d.

???a10＝a1＋9d＝30，?a1＝12，则?解得? ??a＝a＋19d＝50，d＝2.?20?1

所以an＝a1＋(n－1)d＝12＋(n－1)×2＝10＋2n. n（n－1）(2)由Sn＝na1＋ d以及a1＝12，

2d＝2，Sn＝242，

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得方程242＝12n＋

n（n－1）

·2， 2

即n2＋11n－242＝0，

解得n＝11或n＝－22(舍去)．故n＝11.

10．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a5＋a13＝34，S3＝9. (1)求数列{an}的通项公式及前n项和公式． (2)设数列{bn}的通项公式为bn＝

an，问：是否存在正整数t，an＋t

使得b1，b2，bm(m≥3，m∈N)成等差数列？若存在，求出t和m的值；若不存在，请说明理由．

解：(1)设等差数列{an}的公差为d， 因为a5＋a13＝34，S3＝9.

??a1＋4d＋a1＋12d＝34，所以?

??a1＋a1＋d＋a1＋2d＝9，???a1＋8d＝17，?a1＝1，整理得?解得?

?a1＋d＝3，?d＝2.??

所以an＝1＋(n－1)×2＝2n－1， n（n－1）

Sn＝n×1＋×2＝n2.

22n－1

(2)由(1)知bn＝，

2n－1＋t所以b1＝

13，b2＝， 1＋t3＋t

2m－1

bm＝，

2m－1＋t

若b1，b2，bm(m≥3，m∈N)成等差数列， 则2b2＝b1＋bm，

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