人教版-数学-九年级下册---26.1.2(1)反比例函数的图象和性质 学案

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2n－11

1．若y＝是反比例函数，则n必须满足条件__n≠__.

x2

2．用描点法画函数图象的步骤简单说是__列表__、__描点__、__连线__．

活动2 教材导学

1．画反比例函数的图象

66

(1)画出反比例函数y＝和y＝－的图象．

xx列表： x 6y＝ x－6 －5 －4 －3 －2 －1 1 2 3 4 5 6 －1 －1.2 －1.5 －2 －3 －6 6 3 2 1.5 1.2 1 6y＝－ x1 1.2 1.5 2 3 6 －6 －3 －2 －1.5 －1.2 －1 描点连线：以表中各组对应值为坐标，描出各点，并用平滑的曲线依次连接这些点，就

66

得到函数y＝与y＝－的图象，如图26－1－14.

xx

图26－1－14

(2)画函数图象的基本步骤是什么？每个步骤都应该注意哪些问题？ (3)反比例函数的图象是什么？它与x轴，y轴相交吗？为什么？ 略

2．反比例函数的图象与性质

66

(1)反比例函数y＝－的图象位于第__二、四__象限，而反比例函数y＝的图象位于第

xx__一、三__象限．

k

(2)反比例函数y＝(k为常数，k≠0)的图象所在象限由__k的符号__确定．

x6

(3)函数y＝－的图象在每一个象限内，y随x的增大而__增大__．

x

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6

(4)函数y＝的图象在每一个象限内，y随x的增大而__减小__．

x

? 知识点一 画反比例函数的图象 步骤：(1)列表；(2)描点；(3)连线．

(1)列表时，自变量的值应对称地选取绝对值相等而符号相反的数值，这样既可简化计算，又便于描点，列表时尽可能多取一些数值；

(2)连线必须用平滑的曲线顺次连接各点，并且线的两端要向外延伸，但不与x轴，y轴相交．

k

? 知识点二 反比例函数y＝(k为常数，k≠0)的图象

x

k

图象：反比例函数y＝(k为常数，k≠0)的图象是__双曲线__，分布在第一、三象限或

x第二、四象限．

k

特点：反比例函数y＝(k为常数，k≠0)的图象无限接近坐标轴但与坐标轴永不相交．

xk

? 知识点三 反比例函数y＝(k为常数，k≠0)的性质

x

性质：(1)当k>0时，双曲线的两支分别位于第__一、三__象限，在每一个象限内，y随x的增大而__减小__．

(2)当k<0时，双曲线的两支分别位于第__二、四__象限，在每一个象限内，y随x的增大而__增大__．

(3)反比例函数的图象绕原点旋转180°，会与原图象__完全重合__；沿两坐标轴夹角的平分线折叠，两部分也会__完全重合__，即反比例函数的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形．

反比例函数的图象在哪个象限由k的符号决定，且y的值随x值的增减变化情况只能在“每一个象限内”研究．

探究问题一 画反比例函数的图象

4

例1 画出反比例函数y＝的图象．

x

我们采用描点法画它的图象，在列表时，由于自变量x的取值范围为x≠0，故x的取值应以0为中心向两边取三对(或三对以上)互为相反数的数．

解：列表：

x 4y＝ x－8 1－ 2－4 －1 －3 4－ 3－2 －2 －1 －4 1－ 2－8 1 28 1 4 2 2 3 4 34 1 8 1 2描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描出相应的点．

4

连线：用平滑的曲线顺次连接各点，即得反比例函数y＝的图象(如图26－1－15)．

x

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图26－1－15

画反比例函数的图象时，应按照列表、描点、连线三个步骤进行，它区别于一次函数只需画出两点，反比例函数的图象需描出尽可能多的点，才能使所画的图象更准确，同时连线时一定要用平滑的曲线连接．

探究问题二 反比例函数的应用

例2 已知圆柱体的体积不变，当它的高h＝12.5 cm时，底面积S＝20 cm2. (1)求S与h之间的函数解析式； (2)画出函数图象；

(3)比较当高为5 cm，7 cm时底面积S的大小．

(1)由圆柱体体积＝圆柱体的底面积×高，可知S与h之间的函数解析式；(2)依据画反比例函数图象的步骤画图；(3)由反比例函数在第一象限的增减性来判断．

V

解：(1)∵当圆柱体体积不变时，它的底面积S与高h成反比例，∴可设S＝(V≠0)．

h

V

将h＝12.5和S＝20代入上式，得20＝，

12.5解得V＝250.

250

∴S与h之间的函数解析式为S＝(h＞0)．

h(2)∵h＞0，故可列表如下： h S 10 25 112 220 15 216 3216 315 20 112 225 10 250

根据表中数据描点并连线，如图26－1－16，即得函数S＝(h>0)的图象．

h

图26－1－16

(3)∵反比例函数在第一象限内S随h的增大而减小，∴高为5 cm时的底面积大于高为7 cm时的底面积．

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k

对于反比例函数y＝(k为常数，k≠0)来说，x的取值范围是x≠0的所有实数，因此

x反比例函数的图象是由两部分(对应的自变量取值范围分别为x>0和x<0)组成的．但是当反比例函数被赋予了一定的实际意义时，自变量的取值范围应使实际问题有意义，如本例中h的取值范围是 h＞0，故画图象时只能画出第一象限的部分，应特别注意这一点．

一、选择题

5

1．当x>0时，函数y＝－的图象在( )

xA．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 A

8

2． 下列各点中，在函数y＝－图象上的是( )

xA．(－2，4) B．(2，4) C．(－2，－4) D．(8，1) A

4

3. 函数y＝－的图象大致是( )

x

图26－1－17

k

C 当k＜0时，反比例函数y＝的图象位于第二、四象限．

x

4．设汽车从茂名驶向北京的平均速度为v，所需的时间为t，则下面刻画v与t的函数关系的图象正确的是( )

图26－1－18

s

A 因为路程s，速度v与时间t三者之间的关系是s＝vt.当s一定时，有v＝(s为非0

t的常数)．由反比例函数的意义，知v与t之间是反比例函数关系．又因为t>0，故其图象应是A.

k－1

5． 若反比例函数y＝的图象位于第二、四象限，则k的取值可以是( )

x

A．0 B．1

C．2 D．以上都不是

A 6．已知y＝(m＋1)xm2－5是反比例函数，若其图象位于第二、四象限，则m的值是( )