大学物理上册课后题答案

习题1

1-1．已知质点位矢随时间变化的函数形式为

刻的切向加速度和法向加速度。

vvvr=R(cosωti?sinωtj) 其中?为常量．求：（1）质点的轨道；(2)速度和速率。

vvv解：(1) 由r=R(cosωti?sinωtj)，知：x?Rcos?t ，y?Rsin?t

222消去t可得轨道方程：x?y?R

∴质点的轨道为圆心在（0，0）处，半径为R的圆；

vvvvdrv解：(1)由v?，有：v?2ti?2j，

dtvvvdvva?，有：a?2i；

dtvv（2）而v?v，有速率：

vvdr（2）由v?，有速度：

dtvvvv???Rsin?ti??Rcos?tj vv而v?v，有速率：

。

1-2．已知质点位矢随时间变化的函数形式为

v?[(2t)?2]2?2t2?1 dv2t∴at?，利用?2dtt?12a2?at2?an有：

221v?[(??Rsin?t)2?(?Rcos?t)2]2??Rvvvr?4t2i?(3?2t)j，式中r的单位为m，

（1）质点的轨道；（2）从t?0到t的单位为s。求：

（3）t?0和t?1秒两时刻的t?1秒的位移；

速度。

vvv2解：（1）由r?4ti?(3?2t)j，可知x?4t2 ，y?3?2t

消去t得轨道方程为：x的轨道为抛物线。

1an?a2?at2?2t?12。

1-4．一升降机以加速度a上升，在上升过程中有一螺钉从天花板上松落，升降机的天花板与底板相距为

d，求螺钉从天花板落到底板上所需的时间。

解法一：以地面为参照系，坐标如图，设同一时间内螺钉下落的距离为为

y1，升降机上升的高度

y2，运动方程分别为

1y1?v0t?gt2

2（1）

?(y?3)2，∴质点

vvvvvdr（2）

（2）由v?，有速度：v?8ti?2j

dt y1?y2?d

从t?0到t?1秒的位移为：（3）

11vvvvvv（注意到y1为负值，有y1??y1） ?r??vdt??(8ti?2j)dt?4i?2j001y2?v0t?at2

2 （3）t和t?1秒两时刻的速度为：?0vvvvvv(0)?2j，v(1)?8i?2j 。

联立求解，有：t?2dg?a。

解法二：以升降机为非惯性参照系，则重力加速度修正为

1-3．已知质点位矢随时间变化的函数形式为

vvvr?t2i?2tj，式中r的单位为m，t的单位

1

为s.求：（1）任一时刻的速度和加速度；（2）任一时

g'?g?a，

1g't2，有：利用d?2

t?

2d?g'2d。

g?a匀速运动，并求其速度v2.

证明：设人向路灯行走，t时刻人影中头的坐标为x1，

1-5．一质量为m的小球在高度

h处以初速度v0水

足的坐标为

x2，

平抛出，求：

（1）小球的运动方程；

（2）小球在落地之前的轨迹方程；

vvdrdvdv（3）落地前瞬时小球的，，。

dtdtdt解：（1）如图，可建立平抛运动学方程：

1x?v0t ，y?h?gt2 ，∴

2v12vvr?v0ti?(h?gt)j；

2（2）联立上面两式，消去t得小球轨迹方程：

gx2； y??2?h（为抛物线方程）

2v0v12vv（3）∵r?v0ti?(h?gt)j，∴

2vvvdr?v0i?gtj， dtvvvvdvv??gj 即：v?v0i?gtj，

dt在落地瞬时，有：tx1?x2h2?，

xh1y1v0h1hx2 ∴x1?h1?h2dx1h1dx2?两边对时间求导有： ，考dth1?h2dtxOdx2?v1， 虑到：

dtdx2h1?v1知人影中头的速度：v影?dth1?h2由相似三角形关系可得：

（常数）。

1-7．一质点沿直线运动，其运动方程为

xx?2?4t?2t2(m)，在 t从0秒到3秒的时

间间隔内，则质点走过的路程为多少？

解：由于是求质点通过的路程，所以可考虑在0~3s的时间间隔内，质点速度为0的位置：

v?dx?4?4t 若v?0 解得 dt2h，∴gvvvdr?v0i?2ghj dt?v?222vx?vy?v0?(?gt)2t?1s，

?x1?x1?x0?(2?4?2)?2?2m

?x3?x3?x1?(2?4?3?2?32)?(2?4?2?x??x1??x2?10m，∴

。

1-8．一弹性球直落在一斜面上，下落高度

又∵

g2ghg2tdv??2dt[v2?(gt)2]12v0?2gh0

。

h?20cm，斜面

对水平的倾角

1-6．路灯距地面的高度为h1，一身高为h2的人在路灯下以匀速v1沿直线行走。试证明人影的顶端作

??30?，问它第

二次碰到斜面的位置

距原来的下落点多远

(假设小球碰斜面前后速度数值相等，碰撞时人射角等

2

于反射角)。

解：小球落地时速度为0，建立沿斜面的直角坐标系，以小球第一次落地点为坐标原点如图示，

顶点处切向加速度为0，法向加速度为g。

v?2gh因此有：

vx0?v0cos600→

1x?v0cos600t?gcos600t2

2（1）

?1??12v0cos2?gg?v2?(v0cos?)2?1，

；

（2）在落地点时子弹的v0，由抛物线对称性，知法向加速度方向与竖直方向成

2v0?2?。

2v0gcos?t?第二次落地时：y?0，代入（2）式得：，

g1-11．飞机以v0?100m/s的速度沿水平直线飞

所以：

行，在离地面高h?98m时，驾驶员要把物品投

22v12?2gh到前方某一地面目标上，问：投放物品时，驾驶员看

x?v0cos600t?gcos600t2?0?目标的视线和竖直线应成什么角度?4h?80cm?此时目标距飞机

2gg下方地点多远?

。 解：设此时飞机距目标水平距离为x有：

121-9．地球的自转角速度最大增加到若干倍时，赤道上

x?vt┄①，h?gt┄② 0的物体仍能保持在地球上而不致离开地球?已知现在

22赤道上物体的向心加速度约为3.4cm/s，设赤道联立方程解得：x?447m，∴

2上重力加速度为9.80m/s。 x??arctan?77.50。 2解：由向心力公式：F， h向?m?R 赤道上的物体仍能保持在地球必须满足：vvv1-12．设将两物体和分别以初速ABA和vB抛F向?mg，而现在赤道上物体的向心力为：

vv掷出去．vA与水平面的夹角为?；vB与水平面的

F'向?ma

夹角为?，试证明在任何时刻物体B相对物体A∴

vy0?v0sin600→

1y?v0sin600t?gsin600t2

2?角，则：

2v0an?gcos?，有：gcos???2 则：

（2）

?mgg980????16.98?17?0maa3.4

1-10．已知子弹的轨迹为抛物线，初速为v0，并且v0与水平面的夹角为点的曲率半径。

的速度是常矢量。

证明：两个物体初速度为vA0和vB0，在任意时刻的速度为：

vvvvB(t)?vB0cos?i?(vB0sin??gt)j

vvvvA(t)?vA0cos?i?(vA0sin??gt)j?。试分别求出抛物线顶点及落地

?v0cos?，

3

解：（1）抛物线顶点处子弹的速度vx

vvvv?vBA?vB(yt)?vA(t)?(vB0cos??vA0cos?)i?(vv0vx?gx?v0

与时间无关，故相对物体的速度是常矢量。

1-13．一物体和探测气球从同一高度竖直向上运动，物体初速为v0BA解：取水面为坐标原点，竖直向下为x轴。

跳水运动员入水时的速度：

v0?2gh?14m?49.0m/s，而气球以速度

v?19.6m/s匀速上升，问气球中的观察者在第vy?v0?gt

故气球中的观察者测得物体的速度

s，

入水后速度减为入水速度的10%时：

二秒末、第三秒末、第四秒末测得物体的速度各多少？ 解：物体在任意时刻的速度表达式为：

?v?vy?v

代入时间t可以得到第二秒末物体速度：

?v2?9.8ms，（向上）

第三秒末物体速度：?v3第四秒末物体速度：?v4下）。

?0

??9.8ms（向

v0?1.4m，

s10dvdvdv列式：??kv2，考虑到?vdtdtdxdvdv2有：?kv??v

dtdxv0x110dv??v0v?0?kdx，1x?ln10?5.76m

kvt?

1-16．一飞行火箭的运动学方程为：

，

1-14．质点沿x轴正向运动，加速度a??kv，k为常数．设从原点出发时速度为v0，求运动方程

x?x(t)。

解： 由于是一维运动，所以，由题意：v1x?ut?u(?t)ln(1?bt)，其中b是与

b燃料燃烧速率有关的量，u为燃气相对火箭的喷射速

度。求：（1）火箭飞行速度与时间的关系；（2）火箭的加速度。

解：看成一维运动，直接利用公式：vdv ??kv，

dtt1分离变量并积分有：

?v0vdv???0kdt ，

?kt得：v?v0e

dx 又∵ ?v0e?kt， 积分有：

dt?dxdt，

a?dv有： dt??

x0dx??v0e?ktdt

0tdx??uln(1?bt) ， （2）dtdvuba??

dt1?bt（1）v

1-17. 质点的运动方程为：x ∴

x?v0(1?e?kt) k1-15．跳水运动员自10m跳台自由下落，入水后因受水的阻碍而减速，设加速度a??kv2，

?Rcos?t，h?t，式中y?Rsin?t，z?2?R、h、?为正的常量。求：（1）质点运动的轨

2k?0.4m

?1.求运动员速度减为入水速度的10%

道方程；（2）质点的速度大小；（3）质点的加速度大小。

解：（1）轨道方程为：x时的入水深度。

?y2?R2，

4