高考数学冲刺一轮复习文理第九章三角函数三角恒等变换解三角形

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第九章、三角函数、三角恒等变换、解三角形

第1节 弧度制与任意角的三角函数

考纲要求 考纲研读 1.了解任意角的概念． 1.任意角α的三角函数只与角α的大小有关． 2.了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化． 2.能根据三角函数的定义求三角函数值． 3.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义. 3.能判断不同三角函数在各个象限的符号.

1．任意角的概念

角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．正角是按 方向旋转形成的；负角是按 方向旋转形成的；一条射线没有作任何旋转，我们称它为 ． 2．终边相同的角 终边与角α相同的角，可写成 S＝ ． 3．弧度制

(1)长度等于 所对的圆心角叫做 1 弧度的角． (2)用弧度作为单位来度量角的单位制叫做 ．

(3)正角的弧度数为 ，负角的弧度数为 ，零角的弧度数为 ．角a的弧度数的绝对值a= (其中l是已a为圆心角时所对圆弧的长，r 是圆的半径)．

(4)弧度与角度的换算：180°＝ rad；1°＝ rad≈0.017 45 rad；1 rad＝??180??°≈ ＝57°18′. ???4．弧长公式和扇形面积公式

在弧度制下，弧长公式和扇形面积公式分别为 l＝ ；S＝ .在角度制下，弧长公式和扇形面积公式分别为 l＝ ；S= 5．任意角的三角函数的定义

设α是一个任意角，角α的终边上任意一点P(x，y)，它与原点的距离是r(r＞0)，那么

y叫做α的正弦，记作sinα，即sinα＝ rx(2)比值叫做α的余弦，记作cosα，即cosα＝ .

ry(3)比值叫做α的正切，记作tanα，即tanα＝ .

x6．三角函数值在各象限的符号

(1)比值

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1．经过2个小时，钟表上的时针旋转了( ) A．60° B．－60° C．30° D．－30° 2．下列各对角中终边相同的是( ) πππ22A.和－＋2kπ(k∈Z) B．－和π 2233

7π11π20π122πC．－和 D.和 99393．sin870°＝ . 4．角θ的终边在直线x－3y＝0，θ∈(0,2π)．则θ＝ . 3

5．角α的终边经过点P(－b,4)且cosα＝－，则b的值为 .

5

1.已知角α终边经过点 P(3t,4t)，t≠0，求角α的正弦、余弦和正切．

2 5

2.（江西)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且sinθ＝－，

5则y＝____.

π

3.如果弓形的弧所对的圆心角为，弓形的弦长为2 cm，则弓形的面积是( )

3

A.??2???3? cm2 B. ?3?????3?cm2 D. ?9??????3?cm2 ?3?C. ??2?3?2 ??cm??32???

1．角的概念推广后，无论用角度制还是用弧度制都能在角的集合与实数集 R 之间建立一种一一对应的关系．

2．要熟悉任意角的概念、弧度制与角度制的互化、弧度制下的有关公式、任意角的三角函数概念． 3．已知一个角的三角函数值，求这个角的其他三角函数值时，要注意题设中角的范围，并就不同的象限分别求出相应的值．【答题模板略】

第2节 同角三角函数的基本关系式与诱导公式

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考纲要求 π1.能利用单位圆中的三角函数线推导出±α，π±α的2正弦、余弦、正切的诱导公式． 2.理解同角三角函数的基本关系式： sinxsin2x＋cos2x＝1，＝tanx. cosx 考纲研读 1.对于同角三角函数的基本关系式，要正确理解“同角”的含义，明确公式成立的条件，掌握公式的变形，其中商数关系还可实现“切化弦”． 2.利用诱导公式可以把任意角转化为锐角求三角函数值．利用上述关系可进行化简、求值和证明等.

1．同角三角函数关系式 平方关系： ； 商数关系： . 2．六组诱导公式

组数 角 正弦 余弦 正切 口诀 一 2kπ＋α (k∈Z) sinα cosα tanα 二 π＋α －cosα tanα 三 －α －sinα －tanα 四 π－α sinα 五 π－α 2 六 π＋α 2cosα －cosα sinα 函数名不变 函数名改变 符号看象限 符号看象限 3.如图 8－2－1，设任意角α的终边与单位圆相交于点 P(x，y)，

图 8－2－1

yyxxyAT

那么sinα＝＝＝y＝MP，cosα＝＝＝x＝OM，tanα＝＝＝AT.

r1r1xOA

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1．cos330°＝( )

1133A. B．－ C. D．－ 22222．sin585°的值为( )

2233

A．－ B. C．－ D.

2222

3．已知向量a＝(2,1)，b＝(sinα，cosα)．若a⊥b，则tanα的值为 . 1???4．已知sinαcosα＝，且α∈?0，?，则sinα－cosα＝ .

44??sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θ

5．已知tanθ＝2，则＝ .

sin2θ＋2cos2θ

1－sin4α－cos4α

1.化简：(1)；(2). 1－sin6α－cos6αcos10°－1－cos210°

1－2sin10°cos10°

2．(全国)记cos(－80°)＝k，那么tan100°＝( ) 1－k21－k2kk

A. B．－ C. D．－ kk1－k21－k2

1．化简三角函数式实际上是一种不指定答案的恒等变形．化简题一定要化成最简形式．对最简形式的要求是：(1)项数化到最少；(2)次数化到最低；(3)尽可能不含根号；(4)三角函数种类最少；(5)能求值的求出值．

2．证明三角恒等式的常用方法是：(1)由左边推出右边或右边推出左边或左、右两边推出同一式；(2)证明左边－右边＝0；(3)综合法；(4)分析法．

3．利用诱导公式可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，基本步骤是(如图 8－2－2)：

图 8－2－2

可以看出，这些步骤体现了把未知问题化归为已知问题的数学思想．

第3节 三角函数的图象与性质

考纲要求

考纲研读