电磁场与电磁波课后习题答案（杨儒贵编着）（第二版）第3章

由于?2?C，与?及?无关，代入上述方程，求得 r1?2??21?2?C(r)?(r)?0 222?rr?rr?rr可见，电位函数?2?C也满足拉普拉斯方程。 r3-21 已知长方体金属腔的内部尺寸为a?b?c，如习 题图3-21所示。若侧壁及 底板均接地，上盖电位为

y z ? c a b o x

?，试求腔内的电位分布函数。

习题图3-21

解 已知直角坐标系中电位函数满足的拉普拉斯方程为

?2??2??2??2?2?0 2?x?y?z应用分离变量法，令

?(x,y,z)?X(x)Y(y)Z(z)

?2X?2Z?2Y222?kX?0?k求得 ； ； ?kY?0xzZ?0 y222?x?z?y22式中 kx?ky?kz2?0。

为了满足?x?0?0和?x?b?0的边界条件，X(x)必须为正弦函数，即

X(x)?Asinkxx

式中kx?m?, m?1, 2, 3?。 by?0为了满足??0和?y?a?0的边界条件，Y(x)也必须

为正弦函数，即

Y(y)?Bsinkyy

式中ky?n?, n? 1, 2, 3?。 a21

由此求得

kz?j(n?2m?2)?() ab为了满足?z?0?0和?z?c??的边界条件，Z(z)只能是 双曲正弦函数，故

?(x,y,z)?(Asinkxx)(Bsinkyy)(Csinh(

其级数解为

n?2m?2)?()z)ab?(x,y,z)???AnBmsin?n?1m?1???n?2m?2??n???m??x?sin?()?()z??ysinh???ab?a??b???

因?z?c??，得

????Cnmsin?n?1m?1???n??a??m??x?sin?y? ??b?式中

Cnm?n?2m?2???AnBmsinh?()?()c?? ab??利用正弦函数的正交性，

?s?x??t?y?sin??dxdy?00?a???b?

ab???n?x??m?y??s?x??t?y??????Cnmsin??sin??sin??sin??dxdy00abab????????n?1m?1a??sin?b当n = s，m = t时，上式右边积分才不为零。另由上式左边可知，只有当s和t都为奇数时，Cst才不为零，因此令

s?(2n?1)，t?(2m?1)，则

Cnm?16? 2(2n?1)(2m?1)?最后求得

22

2n?12m?1sin(a?x)sin(b?y)?(x,y,z)?16??2????n?1m?1(2n?1)(2m?1)sinh[(2n?1122m?122 a?)?( b?)]zsinh[(2n?1122m?a?)?(1b?)2]2c

3-22 一根半径为a的介质圆柱 Y 放在均匀电场E0中，如习题图 a 3-22所示。若介质圆柱的介电 ? X

常数为?，试求柱内外的电场 ?0 强度。

习题图3-22

E?E0x?解 在圆柱坐标中电位所满足的拉普拉斯方程为

1???1?2??2?r?r(r?r)?r2??2??z2?0 由于电位函数?(r,?,z)与z无关，可令

?(r,?,z)?R(r)?(?)

其通解为

??(r,?)?A0lnr??rm(Amsinm??Bmcosm?)m?1?

??r?m(Cmsinm??Dmcosm?)m?1设圆柱内部的电位为?i，圆柱外部的电位为?o，位函数应满足下列边界条件：

1，当r?0时，?i应为有限值，因此柱内电位为

??mi??r(Amsinm??Bmcosm?)

m?1 23

电2，当r??时，圆柱对电场的影响可以忽略，若取坐标原点(0,0)作为电位参考点(注意，电位参考点的选择对于电场强度的计算没有影响)，则柱外无限远处电位为

?o(r??)??E0x??E0rcos?

可见，?o仅与r和cos?有关，因此柱外电位的通解为

?o??E0rcos??D1cos?

3，在圆柱表面上（r?a），电位应该连续，即?o??i，求得柱内电位的通解为

1r?i?rB1cos?

4，在圆柱表面上，电通密度应该连续，即

????i?r???0r?a??o?r

r?a由此求得，D1??2?0???02aE0，B1?E，所以

???00???0?2?0E0rcos? ???01???02aE0cos?

r???0当r?a时，?i(r,?)?当r?a时，?o(r,?)??E0rcos??已知E??????(er??1???e?)，求得 ?rr??当r?a时，Ei(r,?)?当r?a时，

2?0E02?0(ercos??e?sin?)?exE ???0???00????0?a?2?????0?a?2?Eo(r,?)?erE0cos??1?????e?E0sin?????1?

???????0?r???????0?r??

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